使用二维动态规划解决背包问题

一、01 背包概述：

  有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

二、二维dp数组01背包的解法：

1. 确定dp数组以及下标的含义

    对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示为从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.如何推导dp[i][j]?

有两个方向推出来dp[i][j]，

  不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
  放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.如何初始化p[i][j]?

  由图可知dp[i - 1][j]在dp[i][j]的上方, dp[i - 1][j - weight[i]]在dp[i][j]的左上方,所以只需要确定前面的值即可推出dp[i][j]。

假设题目要求为：

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

 

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

此时dp数组初始化情况如图所示：

 

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

如图：

所以总的初始化为：

     // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    //定义dp[i][j]二维数组 初始化i长度物品数量 j长度为背包容量加1
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
 
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

三、完整代码为：

//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void solve(int n,int bagweight) {
 
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    vector<int> isLoad(n, 0);
 
    //初始物品重量和物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
 
        cout<<"请分别输入第"<<i+1<<"个物品的重量和价值："<<endl;
        cin >> weight[i];
        cin >> value[i];
    }
 
 
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    //定义dp[i][j]二维数组 初始化i长度物品数量 j长度为背包容量加1
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
    //dp[i][j] = max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]} = 最大值{不装i物品，装i物品}
 
 
    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }
 
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历容量
 
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
 
 
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else
            {
                if(dp[i - 1][j]>dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                    isLoad[i] = 0;
                }
                else
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i];
                    isLoad[i] = 1;
 
                }
            }
        }
    }
 
    //输出物品为个时 背包容量bagweight  的最大价值
    cout << "最大价值为："<<dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
    for(int i=0 ; i<n;i++)
    {
        if(isLoad[i]==0)
            cout<<"第"<<i+1<<"个物品没装"<<endl;
        else
            cout<<"第"<<i+1<<"个物品装了"<<endl;
    }
}
 
int main() {
 
    int n,bagweight;// bagweight代表背包的空间
    while(1) {
        cout<<"请输入物品数量和背包容量："<<endl;
        cin >> n >> bagweight;
        solve( n, bagweight);
 
    }
 
    return 0;
}

四、时间复杂度：

   二维动态规划的时间复杂度为O(n*bagweight)，其中n是物品的数量，bagweight是背包的容量限制。在动态规划的过程中，需要填充一个二维的dp数组，该数组的大小为(n+1) * (bagweight+1)。每个位置的值需要通过比较和计算得到，因此总共需要进行(n+1) * (bagweight+1)次操作。 由于常数项在复杂度分析中不影响结果的趋势，我们可以简化表示为O(n*bagweight)。