第四章 频域图像增强_尺寸为m×n的空间域图像表示为f(x,y)，经傅立叶变换后表示为f(u,v)，如果中心化后，假设u0

数字图像处理

第四章 频域图像增强

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主要内容
傅里叶变换和频率域的介绍
频率域平滑滤波器
频率域锐化滤波器

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一、 背景 Background

法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。
20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。

应用泰勒级数，将函数f(x)展开为常数项、斜坡函数、二次项函数等：

二、 傅里叶变换和频率域的介绍

2.1 一维傅立叶变换及其反变换

连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):

傅立叶变换F(u)的反变换:

2.1.1 傅里叶变换的连续性和离散性

2.1.2 一维离散傅里叶变换

离散傅里叶变换及其反变换总存在。
用欧拉公式得:


每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；
u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域(u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。

傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。
傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量

傅立叶变换在极坐标下表示:


f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：

对应的傅立叶谱为：

三、二维DFT傅里叶变换

一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):

F(u,v)的反变换的反变换:


(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为：

即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)，其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。

3.1 二维DFT傅里叶变换的性质

3.1.1 平移特性

将F(u,v) 原点变换到(M/2,N/2),它是频域M×N 区域中心。频率范围指定为频率矩形：u=[0,M-1], v=[0,N-1]。为了确保移动后的坐标为整数，要求M 和N 为偶数。计算过程中，变量u 从1到M，而v 从1到N，变换的实际中心变为u=(M/2)+1，v=(N/2)+1。


离散傅里叶变换是对区间[0,M-1] 中的u 值表述的，变换结果是关于原点对称的两个半周期，要显示完全的周期，需要将变换的原点移到u=M/2，二维图像中心化亦是如此

3.1.2 共轭对称性

如果f(x,y) 是实函数，其傅里叶变换必然对称：
F(u,v) = F*(-u,-v)
|F(u,v)| = |F (-u,-v)|
傅里叶变换的频率谱是对称的。共轭对称和中心对称的性质简化了频率域内循环对称滤波器的技术条件。

简单二维函数的中心谱

3.1.3 周期性

傅里叶级数(DFS)有周期性M×N，反变换也是周期性的。DFT 是其中的一个周期。

3.1.4 分配性

傅里叶变换对加法有分配性，而乘法没有。傅里叶反变换适用于相同的结论。

3.1.5 比例变换性

对于比例因子a,b

3.1.6 微分性质

3.1.7 拉普拉斯算子

3.1.8 线性

某些有用的FT 变换对

四、频率域滤波

4.1 频率域的基本性质

每个F(u,v)项包含了被指数项修正的f(x,y)的所有值：

直观上将傅里叶变换和图像中的亮度变化联系起来并不困难：
1） 直流分量F(0,0)对应一幅图像的平均灰度；
2）低频部分对应图像缓慢变化的分量；
3）高频部分对应图像边缘和灰度级突变的部分

频率域的基本性质：频域的中心邻域对应图像中慢变化部分，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分（如：物体的边缘、线条等）。
频率域中滤波步骤：

4.2 频率域中滤波步骤

4.3 一些基本的滤波器及其性质

4.3.1 频率域滤波—陷波滤波器

希望图像的平均值为零

1）设置F(0,0)=0，保留其它频率成分不变
2）除原点有凹陷外其它均是常量函数

4.3.2 低通滤波器

使低频通过，高频衰减
1）低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示
2）比原始图像少一些尖锐的细节部分

4.3.3 高通滤波器

使高频通过，低频衰减
1）高频决定图像细节部分，如边缘和噪声
2）在平滑区域中减少灰度级变化，突出过渡（如边缘）灰度级的细节部分，使图像更加锐化。
对于高通滤波，F(0,0) 被滤为0，图像几乎没有平滑的灰度细节，为此，通常在滤波器中加入常数，以使F(0,0) 不被完全消除，改进明显。

4.3.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系

空间域和频率域之间最基本的联系是由卷积定理建立的
大小为M×N的两个离散函数卷积的定义:

计算过程：

1. h(m,n) 关于原点翻转： h(-m,-n)
2. 通过改变(x,y) 的值,相对于一个函数移动另外一个函数;
3. 对于每一个(x,y) 的位移值，计算所有m,n 值乘积和；
4. (x,y) 位移是以整数增加的，当函数不再有重叠部分时停止。
   
   重要性质:
   
   根据冲击函数和卷积定理的性质，可知空间域和频率域的滤波器组成傅里叶变换对h(x,y)和H(u,v) 。给出频率域滤波器H(u,v) ，通过反傅里叶变换可以得到空间域相应的滤波器h(x,y) 。

滤波器大小
1）前述的所有函数均具有相同的尺寸M×N。在实际中，指定一个频率域滤波器，进行反变换后会得到一个相同尺寸的空间域滤波器。
2）如果两个域中滤波器尺寸相同，那么通常频域中进行滤波计算更为有效，更为直观，但空域中适用更小尺寸的滤波器，更为有效。
方法：
1）在频率域指定滤波器；
2）做反变换；
3）使用结果滤波器作为在空间域构建更小空间滤波模板的指导；

总结

数字图像处理第三章知识。参考冈萨雷斯课件，供大家学习查阅。
例题可以自己写一遍，加深理解。