2024年第五届“华数杯”全国大学生数学建模竞赛A题

作为这次3道题目中最简单的A题目，数据处理上就比C题目小了很多，所以还是建议新手队伍或者还在学习阶段的队伍选择A题目作为练手题目和突破口，我的思路一定不是最优的，但是会尽量便于大家理解与学习。
为了便于大家看步骤，我将所有步骤全部分点显示。

问题1 绘制机械臂简图并建立数学模型

首先，需要根据给定的零位状态（θ1=0°、θ2=−90°、θ3=0°、θ4=180°、θ5=−90°、θ6=0°）以及D-H参数来绘制出六自由度机器臂的简图，我们可以通过手工绘制或者使用绘图软件来完成这个任务，在这个简图中，需要清晰地标出每个关节的位置和方向。

总体步骤

1. 根据每个关节的D-H参数，确定每个关节的相对位置。
2. 从基座开始，按照关节的顺序，依次画出连杆和关节。
3. 注意关节的方向和连杆的长度。
4. 确保零位状态下关节的角度符合题目要求。

建立数学模型

我们需要根据D-H参数建立机器臂的正向运动学模型，注意，这一步骤的目的是通过一系列的旋转和平移变换来计算末端执行器相对于基座的位置。

1. 使用Denavit-Hartenberg（D-H）参数构建每个关节的变换矩阵。
2. 将所有关节的变换矩阵相乘得到末端执行器的位置和姿态矩阵。
3. 检查变换矩阵的正确性，确保它们正确地反映了机器臂的结构。

优化关节路径

我们需要以最小化末端误差为目标，对机器臂的关节角路径进行优化，这里涉及到逆向运动学解的求解，从而便于我们找到满足目标位置的一组关节角。

1. 使用正向运动学模型计算目标位置对应的变换矩阵。
2. 利用逆向运动学方法求解满足该变换矩阵的关节角解。
3. 如果存在多个解，则选择使末端误差最小的那个解作为优化后的关节角路径。

大致代码

% 定义DH变换矩阵函数
function T = dh_transform(theta, d, a, alpha)
    T = [cosd(theta), -sind(theta)*cosd(alpha), sind(theta)*sind(alpha), a*cosd(theta);
         sind(theta), cosd(theta)*cosd(alpha), -cosd(theta)*sind(alpha), a*sind(theta);
         0, sind(alpha), cosd(alpha), d;
         0, 0, 0, 1];
end

% 定义正向运动学函数
function T = forward_kinematics(dh_params)
    T = eye(4);
    for i = 1:length(dh_params)
        T = T * dh_transform(dh_params{i}(1), dh_params{i}(2), dh_params{i}(3), dh_params{i}(4));
    end
end

% 定义反向运动学函数（每个队伍根据自己的需要再编辑代码块）
function q = inverse_kinematics(T, dh_params)
    % 根据队伍具体情况进行求解
    q = zeros(6,1);
end

% 定义优化关节角路径函数
function q_opt = optimize_joint_angles(T_target, dh_params)
    q_opt = inverse_kinematics(T_target, dh_params);
end

% 机器臂的初始D-H参数
dh_params = {[0 600 0 0], [-90 0 300 -90], [0 0 1200 0], [-90 1200 300 -90], [-90 0 0 0], [0 0 0 -90]};

% 目标位置
target_position = [1500 1200 200];

% 绘制机器臂简图
figure;
hold on;
for i = 1:length(dh_params)
    plot3([0 dh_params{i}(2)], [0 0], [0 0], 'k-');
    axis equal;
end
title('Zero Position State of the Robot Arm');
xlabel('X-axis');
ylabel('Y-axis');
zlabel('Z-axis');

% 建立正向运动学模型
T = forward_kinematics(dh_params);

% 优化关节角路径
q_optimized = optimize_joint_angles(target_position, dh_params);
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问题2 最小化末端误差和能耗

能耗计算

在问题1的基础上，需要考虑机器臂的能耗问题，从题目中我们可以知道能耗主要由关节转动和克服重力势能做功构成，题目中给定了机器臂的质量和末端载重，以及各个关节的转动惯量和平均角速度，因此可以计算出转动每个关节所需的能量。

1. 计算每个关节转动时的能量消耗，这可以通过转动惯量和角速度计算。
2. 考虑到机器臂克服重力势能所做的功，这取决于机器臂的总质量、末端载重以及各个关节的位置和角度。
3. 合计所有关节的能量消耗和克服重力势能的功，得到总的能耗。

优化关节角路经

在保证末端误差不超过允许范围的情况下，进一步优化关节角路径以降低能耗。

1. 在问题1的优化基础上，加入能耗的计算。
2. 使用优化算法（如梯度下降、遗传算法等）来寻找使能耗最小化的关节角路径。
3. 确保优化后的路径仍然满足末端误差的要求。
4. 输出优化后的关节角路径和对应的能耗。

大致代码

% 定义能耗计算函数
function E = energy_consumption(joint_angle, joint_inertia, avg_angular_velocity)
    % 根据队伍具体情况进行求解
    E = sum(joint_inertia .* (avg_angular_velocity .* joint_angle).^2);
end

% 定义优化末端误差和能耗函数
function [q_opt, E] = optimize_for_error_and_energy(T_target, dh_params, joint_inertia, avg_angular_velocity)
    % 根据队伍具体情况进行求解
    q_opt = zeros(6,1);
    E = 0;
end

% 关节转动能耗参数
joint_inertia = [0.5; 0.3; 0.4; 0.6; 0.2; 0.4];
avg_angular_velocity = [2.0; 1.5; 1.0; 2.5; 3.0; 2.0];

% 优化末端误差和能耗
[q_optimized_energy, energy] = optimize_for_error_and_energy(target_position, dh_params, joint_inertia, avg_angular_velocity);
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问题3 底座移动路径和关节角路径

路径规划

首先需要规划机器臂底座的移动路径，使其能够绕过障碍物到达目标位置附近，这里可以采用经典的路径规划算法，如A*算法，来寻找最优路径。

1. 优化excel表中的数据
2. 使用A*算法或类似算法来规划机器臂底座的移动路径，确保路径上没有障碍物。
3. 优化路径，确保路径最短且避开所有障碍物。
4. 将底座移动路径可视化展示。

优化关节角路径

在底座移动路径确定之后，需要进一步优化机器臂的关节角路径以完成抓取任务。

1. 使用问题2中的方法计算机器臂底座移动到目标点附近的能耗。
2. 对于抓取任务，再次优化关节角路径以满足末端误差和能耗的要求。
3. 考虑到机器臂的关节不能从障碍物上方越过，确保关节角路径不会导致机器臂与障碍物发生碰撞。
4. 输出底座移动路径和优化后的关节角路径。

大致代码

% 定义路径规划函数
function path = path_planning(grid, start, end)
    % 根据队伍具体情况进行求解
    path = [];
end

% 定义优化关节角路径函数
function q_opt = optimize_joint_angles_with_obstacles(T_target, dh_params, grid, obstacles)
    % 根据队伍具体情况进行求解
    q_opt = zeros(6,1);
end

% 读取Excel表格中的障碍物数据
% 假设grid_data是一个二维数组，表示障碍物地图
grid_data = ... % 从Excel读取数据

% 规划底座移动路径
base_path = path_planning(grid_data, 'Start', 'End');

% 优化关节角路径
q_optimized_with_obstacles = optimize_joint_angles_with_obstacles(target_position, dh_params, grid_data, obstacles);
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问题4 抓取多个货物

路径规划

问题4其实是问题3的扩展，需要处理多个货物的抓取任务，这要求不仅规划单个货物的抓取路径，还要考虑整个抓取序列的优化。

1. 还是先分析附件中的多个货物和障碍物位置数据。
2. 使用旅行商问题（TSP）算法或其他启发式算法来规划机器臂底座的移动路径，以最小化总的移动距离。
3. 对于每个货物，重复问题3中的路径规划步骤，确保机器臂能够安全绕过障碍物完成抓取。
4. 优化整个抓取序列，确保机器臂的移动路径最短且避免与障碍物碰撞。

优化关节角路径

在底座移动路径确定之后，需要进一步优化机器臂的关节角路径以完成所有货物的抓取任务。

1. 对于每个货物，使用问题2的方法计算机器臂抓取该货物时的能耗。
2. 优化整个抓取序列中的关节角路径，确保机器臂能够高效完成所有抓取任务，同时满足末端误差的要求。
3. 输出整个抓取序列的底座移动路径和优化后的关节角路径。
4. 计算并报告总末端误差和总能耗。

大致代码

% 定义优化多个货物抓取函数
function [total_error, total_energy] = optimize_multiple_targets(grid, targets, dh_params, joint_inertia, avg_angular_velocity)
    total_error = 0;
    total_energy = 0;
    for i = 1:length(targets)
        target_position = targets{i};
        base_path = path_planning(grid, 'Start', target_position);
        [q_opt, E] = optimize_for_error_and_energy(target_position, dh_params, joint_inertia, avg_angular_velocity);
        total_error = total_error + norm(target_position - forward_kinematics(dh_params)[1:3,4]);
        total_energy = total_energy + E;
    end
end

% 读取Excel表格中的货物和障碍物数据
% 假设targets_data是一个列表，表示目标位置
targets_data = ... % 从Excel读取数据

% 优化多个货物抓取
[total_error, total_energy] = optimize_multiple_targets(grid_data, targets_data, dh_params, joint_inertia, avg_angular_velocity);
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详细matlab完整代码

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