二十七、【人工智能】【机器学习】- 【数学基础】 之数学要素

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目录

前言

数学基础

数学基础进阶

高级数学加减法

高级数学乘法

总结

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前言：

在数学的广阔宇宙中，有一颗璀璨的星辰，它既神秘又迷人，这便是复数——一个融合了实数与虚数的世界。复数，用数学语言表示为 CC，是数学理论中不可或缺的一部分，它的存在不仅丰富了数学的结构，更在物理学、工程学以及计算机科学等领域发挥着至关重要的作用。让我们一起踏上一段探索之旅，深入理解复数及其背后的数学概念。

想象一下，当我们站在实数轴上，那些我们熟悉的数——无论是正数、负数、分数或是无理数，如圆周率 π、根号二  或自然常数 e，它们都在这条直线上占据着自己的位置。然而，当我们尝试解决某些方程时，如 x2+1=0，实数轴就显得力不从心了。正是在这样的背景下，虚数应运而生，其中 i 这个特殊的数，它的平方等于 −1，为我们打开了通往复数世界的大门。

复数是由实部和虚部组成的有序对，通常写作 a+bi，其中 a,b∈R分别代表实部和虚部，而 i 就是我们熟知的虚数单位。复数的引入，使得方程 x2+1=0 有了意义，其解为 x=±i。

在接下来的内容里，我们将深入探讨复数的奇妙之处，包括它们的表示、运算以及与之相关的各种数学概念，如集合、向量、矩阵等。这些概念不仅仅是抽象的数学构造，它们在实际应用中扮演着极其重要的角色。例如，向量和矩阵是描述多维空间中的物理现象和数据结构的关键工具，而阶乘和累积乘积则在概率论、组合数学和算法设计中无处不在。

现在，让我们一同启航，进入这个充满魅力的数学领域，去发现复数之美，以及它们如何构建起我们对世界的深刻理解。在我们的旅途中，我们将遇到诸如向量内积、矩阵运算、对称性和对角化等概念，这些都将帮助我们更全面地把握复数的本质及其应用。

数学基础：

复数 (complex number) ：包括实数 (real numbers) 和虚数 (imaginary numbers)。

复数集 (the set of complex numbers) 的记号为C 。

集合 (set)，简称集，是指具有某种特定性质元素 (element) 的总体。复数集是所有复数构成的总体。

虚数：i 是虚数单位 (imaginary unit)，i 的平方等于 −1。

实数集 (the set of real numbers) ：记号为 R。实数包括有理数 (rational numbers) 和无理数 (irrational numbers)。

有理数：可以表达成有限小数 (finite decimal 或 terminating decimal)，或者无限循环小数 (repeating decimal 或 recurring decimal)。

无理数：无限不循环小数 (non-repeating decimal)。例如：圆周率 π (pi)、 (the square root of two)、自然常数 e (exponential constant) 和黄金分割比 (golden ratio)。自然常数 e 也叫欧拉数 (Euler's number)。

整数 (integers) ：包括正整数 (positive integers)、负整数 (negative integers) 和零。

正整数大于零 (greater than zero)；负整数小于零 (less than zero)。整数集用 表达Z。

奇偶性 (parity) ：能被 2 整除的整数被称作偶数 (an integer is called an even integer if it is divisible by two)；否则，该整数为奇数 (the integer is odd)。

自然数 (natural numbers 或 counting numbers) ：有些时候指的是正整数，有些时候指的是非负整 数 (nonnegative integer)，这时自然数集合包括“0”。

数学基础进阶：

向量 (vector)：若干数字排成一行或一列，并且用中括号括起来，得到的数组叫做向量 (vector)。

行向量 (row vector)：排成一行的叫做行向量 (row vector)。

示例：[1 2 3 4 5 6]

列向量 (column vector)：排成一列的叫做列向量 (column vector)。

示例：

转置 (transpose) :行向量转置 (transpose) 得到列向量；同理，列向量转置得到行向量。符号上角标T。

示例：

矩阵 (matrix) ：将一系列数字以长方形方式排列。矩阵内的数据成为元素，用.

示例：

矩阵可以看做是，若干列向量左右排列，或者若干行向量上下叠放。

示例：

全 1 向量：如果列向量的元素都为 1，一般记做 1。1 被称作全 1 列向量，简称全 1 向量 (all-ones vector)。

零向量 (zero vector)：如果列向量的元素都是 0，这种列向量叫做零向量 (zero vector)，记做 0。

方阵 (square matrix)：行数和列数相同的矩阵叫方阵 (square matrix)，比如 2 × 2 矩阵。

对角矩阵 (diagonal matrix) ：一般是一个主对角线之外的元素皆为 0 的方阵。

单位矩阵 (identity matrix) ：是主对角线元素为 1 其余元素均为 0 的方阵，记做 I。

对称矩阵 (symmetric matrix) ：是元素相对于主对角线轴对称的方阵。

零矩阵 (null matrix) ：一般指所有元素皆为 0 的方阵，记做 O。

高级数学加减法：

矩阵加减：形状相同，对应位置（重点），批量加减。

示例：

高级数学乘法：

阶乘 (factorial)：某个正整数的阶乘 (factorial) 是所有小于及等于该数的正整数的积。

示例：

累计乘积 (cumulative product) ：也叫累积乘积，得到的结果不仅仅是一个乘 积，而是从左向右每乘一个数值得到的分步结果。

示例：

向量乘法：包括标量乘法、向量内积、逐项积。

标量乘法：标量乘法运算中，标量乘向量结果还是向量，标量乘法运算规则很简单，向量 a 乘以 k，a 的每一个元素均与 k 相乘。

示例：

向量内积 (inner product) ：结果为标量。向量内积又叫标量积 (scalar product) 或点积 (dot product)。

定义：向量内积的运算规则是，两个形状相同向量，对应位置元素一一相乘，再求和。

示例：

向量内积满足交换律 (commutative)，对向量加法满足分配律，向量内积不满足结合律 (associative)。

逐项积 (piecewise product)：也叫阿达玛乘积 (Hadamard product)。两个形状相同向量的逐项 积为对应位置元素分别相乘，结果为相同形状的向量。

示例：

 矩阵乘法：最重要的线性代数运算规则

A 和 B 两个矩阵相乘的前提是矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相同。

示例：

 两个向量相乘:两个向量必须有相同的维数

 矩阵除法：计算逆矩阵

实际上，并不存在所谓的矩阵除法。所谓矩阵 B 除以矩阵 A，实际上将矩阵 A 先转化逆矩阵 A −1，然后计算 B 和逆矩阵 A −1乘积，即：

A 如果可逆 (invertible)，仅当 A 为方阵且存在矩阵 A −1使得下式成立，。

A −1叫做矩阵 A 的逆 (the inverse of matrix A)。

总结：

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