考研数学易错知识点 2021-08-06_拆项凑微分

考研部分知识点总结

连续，极限

连续

绝对值函数的导数性质三

阶梯函数导数

多项式和对数函数的极限:

高阶导数

绝对值函数的导数性质一

函数极限

高阶无穷小相加

等价无穷小替换定理：因式可以用等价无穷小替换

高阶无穷小相乘

运用泰勒公式

变限积分求导公式

导数的应用与证明

求切线

画出积分区域

变量可分离的微分方程

水平、斜渐近线

隐函数求极值

拐点的第二充分条件:

单调函数的极限性质

极值的第一充分条件

的间断点

由导数求极值点

凸函数的切线位置

求切线

凹凸性判定

由导数求极值点

变限积分的复杂形式

变限积分求导公式

f(x)在开区间的范围

二阶导判断凹凸区间

参数式的二阶导数

观察法求方程根

判定方程根的个数

单调区间内无零点

由导数求极值点

通分不等式

通过二阶导数证明单调性

通过二阶导数证明单调性

对称的双变量不等式-构造函数

凸函数的导数性质

用最值证不等式

凹凸性判定

构造函数

积分

积分1

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分式拆项：分母能因式分解，只含一次式

分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂

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分式拆项：分母能因式分解，含二次式

拆项积分：分母不能因式分解: 拆项得到

分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂

运用积分

和差化积公式

余割函数的导数

sinx cosx偶数次幂

常用诱导公式

积分2

反常积分

反常积分同敛散的比较判别

函数间断点

区间两端同为奇点

变限积分的复杂形式: 使用变限积分求导公式

分式拆项：分母能因式分解，只含一次式

分部积分法

运用导数

提取公因式约分: 提取公因式约分化简（即只取分子分母的最高次项）

反常积分收敛的比较判别

函数积的奇偶性：不同奇偶性相乘为奇；相同奇偶性相乘为偶

对称函数换元：对称函数，换元使其平移，得到奇、偶函数

反常积分收敛的比较判别

指数、对数和多项式的极限

提取极限存在的因式

反常积分收敛的定义：反常积分的定义为极限，若极限存在，则反常积分收敛

函数间断点

反常积分同敛散的比较判别

等价无穷小替换定理

函数间断点

反常积分同敛散的比较判别

等价无穷小替换定理

周期函数的积分

e-x2 的反常积分

无穷极限的差

反常积分先求不定积分

分式拆项：分母能因式分解，含二次式

运用积分

定积分换元保留绝对值符号

定积分的和

积分中有绝对值号

运用积分

含定积分的方程: 注意，定积分是一个数，命其为a , 再解关于a 的方程

定积分换元保留绝对值符号

函数积的奇偶性

函数的奇偶性

函数平移

1至 n 的和

定积分的和

积分中有绝对值号

分析】三角函数的无理式，按顺序思考：1. 凑微分， 2. 化简成一次式，或可以直接积分/凑微分积分的形式， 3. 拆项，4. 和差化积，5. 万能代换。

这里不能直接凑微分，化简去掉根号。去根号后有绝对值号，需根据积分区域脱去绝对值号。

所以这是无穷区间上的反常积分，先计算不定积分。

函数积的奇偶性

奇偶函数在对称区间的积分

函数的奇偶性

写成指数形式

等价无穷小替换定理

提取极限存在的因式

微分方程

微分方程

选择未知函数

非齐次解的差为齐次解

代入解求未知函数

求二阶常系数非齐次线性方程的特解

求二阶常系数线性齐次方程的通解

自由项对应特征方程的根

高阶常系数线性方程

单重实根

求高阶齐次方程的通解

求高阶齐次方程的通解: 将 个特征根对应的项相加得到通解

无穷小的比较：涉及“同阶”，“等价”，“高阶”和“低阶” 无穷小的问题

构建辅助函数

构建辅助函数: 运用罗尔定理，经常需要构建辅助函数

反复使用罗尔定理

微分方程法构建辅助函数

中值定理

微分方程法构建辅助函数

不同区间上的双中值问题

柯西中值定理

选择合适的值展开泰勒公式: 关键是选择 的值使某些项消失

多元微分

多元微分概念

二重极限

构建路径

偏导数存在且连续（这个连续指的是求完偏导的函数）=>可微，反之推不出；

可微=>偏导数存在，反之推不出；

可微=>连续（这个连续指的是没求偏导的函数），反之推不出；

可微=>方向导数存在，反之推不出；

偏导数存在，连续，方向导数存在之间互相谁也推不出谁。

可微必连续

判定二元函数可微 (全微分定义)

隐函数求导法

求解隐函数方程

·隐函数存在定理

隐函数求二阶偏导数

求三元方程组

多元函数极值定义

比较等式两端各项系数

全微分导数性质

闭区域的最值问题

区域内部的极值

其变形

求二阶常系数线性齐次方程的通解

导数的乘、除法公式

函数的不同变量表示和式为0 推导某项为0 求偏导数

求光滑曲线段上的最值: 求曲线段上的端点和条件极值点

知识点

多元函数的驻点

求二元方程组

区域内部的极值

由关于x,y 的偏导关系，推关于 u,v 的偏导关系

求偏导数表达式，代入偏导数关系式

隐函数求二阶偏导数

求三元方程组

二元函数极值判定

化简目标函数

拉格朗日乘数法-方程组消去a,b

二重积分

极坐标计算二重积分

二重积分严格保序性

奇函数在轴对称区间上的二重积分

函数的奇偶性

画出积分区域（极坐标）

二重积分上下限 （直角坐标）

直角坐标解析式化成极坐标解析式

后积先定限，限内画条线；小的是下限，大的是上限

arcsin的性质

分块函数求积分

二重积分区域相加

找分块函数分界线

二重积分选择积分顺序: 选择积分顺序，使计算简便

运用积分：不定积分与定积分，经常用来构建罗尔定理的辅助函数，求数列和的极限，等。

偶函数在轴对称区间上的二重积分

画出积分区域

二重积分上下限 （直角坐标）

积分区域平移

二重积分区域相减

二重积分上下限 （极坐标）

直角坐标解析式化成极坐标解析式

二重积分区域相减

分块函数求积分

二重积分区域相加

二重积分定义求极限

线性代数

行列式

二阶递推式的解

递推法求行列式

一阶递推式的解

分块矩阵的 n次方

对角矩阵的 n 次方

行列互换、倍加的行列式

伴随阵与逆矩阵

可逆矩阵

伴随矩阵:

向量与秩

外积的秩

线性相关：1 个向量: 向量组a 线性相关

线性相关

矩阵行（列）变换

过渡矩阵

线性表出与秩: 若向量组 1可由向量组 2线性表出

线性无关

k阶子式

线性表出：1 个向量

矩阵的秩

(非)零矩阵的秩

AB=0时的秩

线性表出

解的个数

已知一个通解，求公共解

已知一个通解，求公共解: 将一个方程组的通解代入另一个方程组，则得到公共解

同解: 两个方程组同解的充要条件 1. 系数矩阵的秩相同；2. 基础解系相同，通解也相同

由通解求系数矩阵: 将基础解系、通解、或特解代入相应方程组，即得到关于系数矩阵的新方程组 , 解之则得到系数矩阵 .

线性方程组: 向量形式

矩阵与向量组的秩

齐次线性方程组的基础解系

Schmidt 正交化

线性表出：添加向量

线性方程组: 向量形式

线性方程组: 矩阵形式

线性表出：添加向量

线性方程组: 矩阵形式

线性无关解的个数

特征值

特征值

简单行列式计算

求基础解系

线性方程组: 矩阵形式

赋值自由未知量，得到基础解系：赋值自由未知量, 通常用简单的数如 ,0.1 , 解得相应独立未知量, 则得到基础解系

向量正交，立线性方程

实对称矩阵特征向量正交

求基础解系

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