数据结构------算法复杂度_算法复杂对

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前言

数据结构(Data Structure)：数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。
资料推荐：《剑指offer》，《程序员代码面试指南》，LeetCode。

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一、算法的时间复杂度和空间复杂度

1、时间复杂度

1.1 定义

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

1.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

1.3 常见的时间复杂度举例

实例1：

void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
	for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 	{
 			++count;
 	}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
	++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
	++count;
}
printf("%d\n", count);
}
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Func1的时间复杂度为：O（N²）

实例2：

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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Func2的时间复杂度为：O(N)

实例3：

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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Func3的时间复杂度为：
没有说明M，N的关系时：O(M+N)
M远大于N时：O(M)
M远小于N时：O(N)
M和N差不多时：O(M)或O(N)

实例4：

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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实例4的时间复杂度为：O(1)

实例5

//strchr的时间复杂度
const char * strchr ( const char * str, int character );
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实例5的时间复杂度：O(N)

实例6：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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实例6的算法复杂度为：O(N²)

实例7：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}
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实例7的算法复杂度为：O(Log₂N)

实例8：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if(0 == N)
		return 1;
		
	return Fac(N-1)*N;
}
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实例8的算法复杂度为：O(N)

实例9：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
 
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
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实例9的算法复杂度为：O(2ⁿ)

2、空间复杂度

2.1 定义

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2.2 举例

实例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
		}
}
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实例1的空间复杂度为：O(1)

实例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if(n==0)
		return NULL;
 
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	return fibArray;
}
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实例2的空间复杂度为：O(N)

实例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if(N == 0)
		return 1;
 
	return Fac(N-1)*N;
}
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实例3的空间复杂度为：O(N)

总结