梯度下降法终极版_梯度下降 图论

在之前的文章中，我用梯度下降法实现了Logistic回归，当时用的是批量梯度下降法，现在就来进一步了解

梯度下降法的原理以及在机器学习中的应用。

 

常见的梯度下降法主要有两种：（1）批量梯度下降法  （2）随机梯度下降法

 

现在假设样本的个数为，对单个样本来说，有一个维的向量，代表这个样本的个特征，还有一个值

为预测值，要拟合的函数设为，那么误差准则函数为

 

    

 

这是典型的线性回归问题，现在的目的是使得这个误差准则函数的值最小化，可以用如下两种梯度下降法。

 

（1）批量梯度下降法

 

    批量梯度下降法需要把个样本全部带入计算，迭代一次计算量为，先对误差准则函数求偏导

 

    

 

    所以进一步得到批量梯度下降的迭代式为

 

    

 

    可以看出批量梯度下降法得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步要用到训练集所有的数据，如果

    很大那么计算量会很大，相应速度会很慢。所以针对这种不足，又引入了另一种方法：随机梯度下降法。

 

（2）随机梯度下降法

 

    上面的批量梯度下降法是将所有的样本都带入计算，而随机梯度下降法每次迭代是带入单个样本，迭代

    一次计算量为，当样本数总数很大的时候，随机梯度下降法迭代一次的速度要远远小于梯度下降

    法，随机梯度下降法迭代公式如下

 

    

 

    可以看出随机梯度下降法是最小化单个样本的误差准则函数，虽然每次迭代误差准则函数都不一定是向

    着全局最优方向，但是大的整体方向是向着全局最优方向的，最终得到的结果往往在全局最优解附近。

 

 

对于上述线性回归问题，来分析一下这个误差准则函数的性质，首先对求二阶偏导数，得到

 

    

 

即得到Hessian矩阵，中间的是一个单位矩阵且正定，所以Hessian矩阵正定。进而推出

误差准则函数是单峰函数，那么通过梯度下降法得到的最优解也就是全局最优解。当然如果一个函数有

多个峰，那么通过梯度下降得到的可能不是全局最优解。

 

其实梯度下降法，在使用的时候无非是考虑到两个方面：一是方向，二是步长。方向决定是否走在最优化的道

路上，而步长决定了要多久才能到达最优的地方。对于第一方面，就是求梯度，多元函数求相应变量的偏导数；

对于第二方面，如果步子太少，则需要很长的时间才能达到目的地，如果步子过大，可能导致在目的地周围来

回震荡，所以步长选择比较关键。