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这里通过一个例子引出马尔科夫模型。
大学生小魏日常处于以下4种状态之一:睡觉、吃饭、打游戏、看动漫。若已知小魏当前处于某种状态,则他未来的状态只与现在有关,而与过去无关。例如已知昨天小魏在睡觉,现在在吃饭,能影响到明天的只有今天的“吃饭”状态。那么明天的状态只与今天的“吃饭”有关,而与昨天的“睡觉”无关。注意,小魏的状态是随机的,只能求明天处于每一种状态的概率,而这概率有只与今天的状态有关,不需要管昨天或更早的状态是什么。描述这种随机现象的模型,称为马尔科夫模型。
从小魏到马尔科夫链
健康与疾病
销售与贮存
等级结构
此类问题最基本的特点:状态随机,下一阶段的状态只与当前有关
这里先介绍一个概念:时齐性
若第n天小魏处于状态i,则经过了m天后,小魏处于状态j的概率满足:
P{Xn+m = j| Xn = i} = Pij(m)
则称{Xn, n = 1, 2, ...}为时齐的马尔科夫链
假设有x个状态,p为一步转移矩阵,nij为从i转移成j的次数,则有
这里小魏的x是4
这样一步转移矩阵就出来了
假设该系统初始时4种状态出现的概率为P0 = [0.2, 0.3, 0.3, 0.2]
则系统初始化后,运行到第2步最有可能出现状态几?第5步呢?
这时候就要计算n步后的概率分布了
注意:求“第n步”状态的概率分布,需要根据题目确定究竟是否把“初始化”算作第1步
根据问题要求,做出解答
例如根据城市近几年的噪声值,预测下一年的噪声值之类的问题。因为“噪声值”是数值,理论上可以是任何实数,所以有无数种可能的结果,此时就不能用马尔科夫预测。
例如根据某销量很小的奢侈品过去几个月的销量,预测下个月销量。某奢侈品的“销量”只能是正整数,又因为“销量很少”可以根据已知数据假定小于某个正整数(例如月销量不超过10),此时“销量”有0到10总共11个可能的结果,可以用马尔科夫预测下个月的销量最有可能是几。
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