Stable Diffusion扩散模型推导公式的基础知识

1、独立事件的条件概率

A 和 B 是两个独立事件：
$\Rightarrow$ $P(A|B)=P(A)$，$P(B|A)=P(B)$，
$\Rightarrow$ $P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)$

2、贝叶斯公式、先验概率、后验概率、似然、证据

贝叶斯公式：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

• 先验概率(prior)：P(A)
• 后验概率(posterior)：P(A|B)
• 似然 (likelihood)：P(B|A)
• 证据(evidence)：P(B)

举例：

$$P(x_{t-1}|x_t)=\frac{P(x_t|x_{t-1})P(x_{t-1})}{P(x_t)}$$

3、马尔可夫链

马尔可夫链:下一状态的概率分布仅取决于当前状态，与过去的状态无关

$P(x_t|x_{t-1},x_{t-2}...x_1{x}_0)=P(x_t|x_{t-1})$

正向扩散过程：$q(x_0:x_T)=q(x_0)q(x_1|x_0)q(x_2|x_1)...q(x_{T-1}|x_{T-2})q(x_T|x_{T-1})$

逆向扩散过程：$p(x_0:x_T)=p(x_T)p(x_{T-1}|x_T)p(x_{T-2}|x_{T-1})...p(x_1|x_2)p(x_0|x_1)$

4、正态分布 / 高斯分布

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

$$x\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$

高斯分布的性质：
A、如果$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，那么$aX+B\sim \mathcal{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$
B、两个正态分布相加，其结果也是正态分布：
$X\sim \mathcal{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$；$Y\sim \mathcal{N}({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，则$X+Y\sim \mathcal{N}({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

5、重参数化技巧

对于高斯分布:$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，采样这个操作本身是不可导的，也就无法通过BP来对参数进行优化。但是我们可以通过重参数化技巧，将简单分布的采样结果变换到特定分布中，如此一来则可以对参数进行求导,
具体操作：
A、引入服从标准正态分布的随机变量：$z\sim \mathcal{N}(0,1)$
B、令$x=\mu +\sigma z$，这样就满足$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$

6、期望

期望是指随机变量取值的平均值，用来刻画随机变量的集中位置,

(1)离散型随机变量
离散型随机变量X的取值为$x_1,x_2,x_3,.......,x_n$，对应的概率为$p_1,p_2,p_3,......,p_n$，
则X的期望为：$E(X)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i$
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若离散变量$Y$符合函数 $Y=g(X)$，$g(X)$是连续函数，且${\sum }_{i=1}^{n}g(x_i)p_i$绝对收敛，
则离散变量$Y$的期望为：$E(X)={\sum }_{i=1}^{n}g(x_i)p_i$

(2)连续型随机变量
连续型随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，
则$X$的期望为：$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm{d}x$，
若随机变量$Y$符合函数 $Y=g(x)$，且${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\mathrm{d}x$绝对收敛，
则随机变量$Y$的期望为：$E(Y)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\mathrm{d}x$

注意: 对于连续型随机变量，期望就是积分，满足条件的积分也可以写成期望的形式。这在之后的 公式推导过程中，我们会使用到期望与积分写法的转换，

7、KL散度 、高斯分布的KL散度

KL散度的作用: 用于衡量2个概率分布(分布$p$和分布$q$)之间的差异，
$$D_{KL}(p||q)=H(p,q)-H(p)={\int }_{x}p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}dx=E_{x\sim p(x)}[log\frac{p(x)}{q(x)}]$$

其中:
$H(p,q)$表示分布$p$和分布$q$的交叉熵，$H(p)$表示分布$p$的熵，

KL散度的重要性质：

• $D_{KL}(p||q)\ge 0$
• 当分布$p$与分布$q$完全一样时，$D_{KL}(p||q)=0$
• 对于相同的分布$p$和分布$q$，这里所说的相同的分布是$D_{KL}(p||q)$与$D_{KL}(q||p)$中的2个$p$和2个$q$是一样的，$D_{KL}(p||q)$与$D_{KL}(q||p)$计算所得到的值不一样，
  对于$D_{KL}(p||q)$，我们一般认为$p(x)$是真实分布，$q(x)$是预测分布，$D_{KL}(p||q)$是
  求预测分布$q(x)$与真实分布$p(x)$之间的差距，

高斯分布的KL散度:
$p(x)=\mathcal{N}({\mu }_1,{\sigma }_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-}\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}$，
$q(x)=\mathcal{N}({\mu }_2,{\sigma }_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{-}\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_1^2}$，
$\mathrm{KL}(\mathcal{N}(\mathrm{x}|{\mu }_1,{\sum }_1)||\mathcal{N}(\mathrm{x}|{\mu }_2,{\sum }_2))=\frac{1}{2}[log\frac{{\sum }_2}{{\sum }_1}-K+tr({\sum }_2^{-1}{\sum }_1)+({\mu }_1-{\mu }_2{)}^T{\sum }_2^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)]$，
$D_{KL}(p,q)=log\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}-\frac{1}{2}+\frac{{\sigma }_1^2+({\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}$，

推导过程: https://blog.csdn.net/hegsns/article/details/104857277

8、极大似然估计

概括描述:已知抽取的样本，求概率分布的参数

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9、ELBO :Evidence Lower Bound

10、一元二次方程