数学建模_插值和拟合_2020_9_3_数学建模矩形区域内哪些船要避免进入

​插值问题：

有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。当数据量不够，需要补充,且认定已有数据可信时,通常利用函数插值方法。

常见插值方法：

• 拉格朗日插值(lagrange插值) 

• 分段线性插值

• Hermite

• 三次样条插值

• 克里金插值（地理学）

• 反距离权重插值算法（地理学）

拉格朗日插值（高次多项式插值）：（次数太高有Runge现象）

1. 曲线光滑；误差估计有表达式

2. 收敛性不能保证（振荡现象）

3. 用于理论分析，实际意义不大matlab中没有

分段线性插值：

1. 收敛性良好

2. 只用两个节点，且线性，简单实用

3. 曲线不光滑

三次样条插值:

1. 曲线2阶光滑，收敛性有保证

2. 实际中应用广泛

3. 误差估计较难

拟合：

已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义
下它在这些点上的总偏差最小。

曲线拟合要解决的两个问题：

1. 线型的选择(关键点，一般根据散点图)

2. 线型中参数的计算

参数的求解：

1. 线性拟合----最小二乘法

2. 非线性拟合----Gauss-Newton迭代法

最小二乘法:

函数表达式：

其中 , k=[1,n],是线性无关的函数， 是待定系数，目的找一组适当的，使得  与的距离平方和最小。这种准则称为最小二乘准则，求系数的方法称为最小二乘拟合法。

MATLAB拟合：

线性拟合：

polyfit(x,y,n)函数  

x,y被拟合数据的自变量和应变量，n为拟合多项式的次数

polyval()函数

多项式在 x 处的值 y 可用polyval函数计算

非线性拟合：

[b,r] = polyfit(x ,y ,fun,bo, option)

fun: 拟合函数    b0：拟合参数初始化迭值

option: 拟合选项   b:拟合参数 r:拟合残差

MATLAB拟合工具箱：  cftool(香)

插值和拟合的异同

联系

• 都是根据实际中一-组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。

区别

• 插值问题不一定得到近似函数的表达形式， 仅通过插值方法找到末知点对应的值。数据拟合要求得到一个具体的近似函数的表达式。

MATLAB插值：

一维插值： 一维数据插值(表查找)

= interp1(x,y,,'method')  默认分段线性插值

x,y: 插值点             ,  ,插值结果

'method': 插值方法

'nearest' ： 最近邻插值

'linerar',      线性插值

'spline' ：  三次样条插值

'cubic' ：  立方插值

二维插值：meshgrid格式的二维网格数据的插值

 = interp2(x,y,z,,,'method')

注意： ，为向量或者矩阵 

 

3: 散乱点插值 插入二维或三维散点数据

当(x,y) 为散乱点时 

 = girddata(x,y,z,,,'method')

绘图函数：

plot()

plot3() 空间曲线

mesh() 空间曲面网格

meshc() 在mesh() 下方画等高线

meshz() 在mesh() 下方画垂帘图

surf() 空间曲面表面

surfc()  surfz()

contour(x,y,z,n) 等高线

例子：

clearx=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;    1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;     1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;    1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;    1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;     1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;    1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];subplot(221)meshz(x,y,z)xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')title('原图')subplot(222)x1 = 1200:50:4000;y1 = 1200:50:3600;z1 = interp2(x,y,z,x1,y1','nearest');surfc(x1,y1,z1)title('最近邻插值')subplot(223)z2 = interp2(x,y,z,x1,y1');surfc(x1,y1,z2)title('双线性插值')subplot(224)z3 = interp2(x,y,z,x1,y1','cubic');surfc(x1,y1,z3)title('双三次插值')

例子：某海域测得一些点(x,y)的深度z ,如下表，船的吃水深度为5米。在矩形区域(75 * 200) * (-50 , 150) 内,那些地方船要避免进入。

 

matlab代码：

clear ;x = [129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5] ;y = [7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5] ;z = [-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];[xi ,yi] = meshgrid(75:0.5:200,-70:0.5:150); %在指定区域生成网格点数据zi = griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic') ;  %插值figure(1)meshz(xi,yi,zi); %画图xlabel('X')ylabel('Y')zlabel('Z')figure(2)contour(xi,yi,zi,[-5 -5],'r') ; %不足船的船的吃水深度，这个区域是禁区grid; %打开网格线hold on ;plot(x,y,'+') %数据采样点​

 

Reference：

[1]: https://blog.csdn.net/weixin_45755332/article/details/106878116?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-title-4&spm=1001.2101.3001.4242

[2]:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/99779464?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param