【深蓝学院】手写VIO第2章--IMU传感器--笔记_g-sensitivity

0. 内容

1. 旋转运动学

角速度的推导：

左=${\omega }^{\wedge }$，而$\omega$是在z轴方向运动，=${\theta }^{\prime }[0,0,1{]}^T$
两边取模后得到结论： 线速度大小=半径 * 角速度大小

其中，对旋转矩阵求导根据第一章的结论：

还有绿色箭头的公式，下面的推导看的不是很明白
实际上是把R的导数变成求极限的形式，但是这个极限怎么求的我不是很理解，然后就是下面这个公式
$R{\omega }^{\wedge }=(R\omega {)}^{\wedge }R$

$a=R_{ib}\ast a^b$表示body下的加速度在$I$系下的表示，仍是body下的加速度，只是表示在$I$系。
知道了这个科氏力之后，测量出科氏力以及运动的速度就能知道角速度了，这就是gyro的一个基本原理。

2. IMU测量模型及运动模型

光纤陀螺仪一般较贵，原理是：光跑一圈路程是$2\pi r$，但如果在旋转，那就是$2\pi r+x$，测量出来这个x，用光速再进行相关计算就得到此时的角速度。

陀螺仪测角速度要两个轴：一个主动运动轴，一个敏感轴，敏感轴用于预测量科氏力

音叉振动陀螺

音叉两端左方向相反的正弦运动（什么叫正弦运动？音叉不是固定的吗？ ），同一时刻其速度相反，±v，受到的科氏力大小相同方向相反F，整个音叉收到向右的力为f，左右也都为f，把受到的力相减，抵消之后，就能测出两倍科氏力2F，同时，知道自然块运动的速度，就能算出科氏力。

科氏力为$2v\ast \omega$，

这个G-sensitivity是灵敏度系数，比如机械振动会不会对IMU测量数据造成影响，如果不那么灵敏，就不会影响，如果比较灵敏，就需要考虑IMU减震等。

加速度计是否需要考虑科氏力影响？
不需要。

因为
1.即使开始加速时质量块会加速，但最终会达到平衡，速度v=0，最终的科氏力为0，
2.加计不是主动驱动的高速运动，会很缓慢地动，最终速度为0。

3. IMU误差模型

3.1 误差模型

3.2 确定性误差

确定性误差有bias和scale，

1. bias随着时间会累积，使得位姿的误差$p_{err}$越来越大；
2. scale可看成是原始物理$v,\omega$与ADC后的传感器输出值之间的比值，需要标定。
   

scale是尺度，Misalignment是轴偏，如yz轴投影到x轴上的轴偏。
不考虑bias时，测量出的$l_{ax}=s_{xx}\ast a_x+m_{xy}\ast a_y+m_{xz}\ast a_z$，尺度轴偏矩阵主对角线为尺度，其他为轴偏。

其他确定性误差还有

1. 运行误差(每次都不一样)，
2. 温度相关误差（温度补偿或者标定方法）。
3. 环境相关误差（高度，室内外等）
   

六面法标定bias和scale，分别将xzy三个轴朝上或者下放置，测出的应该是±g，但是会受到bias影响.于是$b=\frac{l^{up}+l^{down}}{2}$就是两倍bias的均值，反之，相减绝对值就是$2g$，一除就是尺度scale。

3.2.1 六面法标定acc

$l_1$ ~ $l_6$是加速度测量值，S，b是待标定的尺度轴偏矩阵和bias，$a_1$ ~ $a_6$是加速度的理论值，其中$g=9.81$是标量。如此可以标定出$S$和$b$。
$L=S[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]+b$
最小二乘法能够求出S和b共12个元素。

3.2.2 六面法标定gyro

同理，标定gyro也可以使用这种方法，需要有一个角速度较为精确的转台，也用6面，相对加计，此时我们知道较为精确的角速度${\omega }_1$~${\omega }_6$，即可标出gyro的尺度、轴偏、bias。

3.2.3 温度标定

一般采用soak method，精度较高。

3.3 IMU随机误差

3.3.1 IMU随机误差的介绍

bias的导数满足高斯分布$n(t)$（注意是导数而不是bias本身），这个bias的分布被称为随机游走（random walk）。

ADC采样时间段内认为数据是常数，采集的数据=理想数据+bias和随机游走的噪声带来的部分，这个不是常数，所以需要进行积分

仅考虑高斯白噪声时（假设bias和n(t)是相互独立的）的协方差计算推导：
这里的$\tau$实际上就是一个自变量，可以是$x,y,z$等任意一个，是因为$t$在这里要代表时间，所以使用了$\tau$作为这里的自变量。本身高斯白噪声是满足高斯分布$n(t)$的，就如(13)式所定义。

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协方差相关补充：


方差是协方差的特殊情况，方差实际上是对自身的协方差，即$D(X)=Cov(X,X)$，也就是X的二阶原点矩。

补充对于一二阶矩的定义：（一阶矩是期望$E(X)$，二阶原点矩是$E(X^2)$，二阶非原点矩$E(((X-E(X){)}^2)$，平方是因为如果$E(X)$不为有0时，若出现了负值，则会使整体二阶矩偏大，如果加了平方就相当于加上了绝对值，就更能体现偏离均值的范围。

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这里的协方差标准写法应该是$Cov(n_d^2[k])$，写法做了省略：$$Cov(n_d[k],n_d[k])=D(n_d[k])=E(n_d^2[k])-E(n_d[k]{)}^2=E(n_d^2[k])$$(因为这里$n_d[k]$是均值为0的高斯分布，所以$\mathbf{E}({\mathbf{n}}_{\mathbf{d}}[\mathbf{k}])=0$，方差=平方的期望-期望的平方)，不好理解，内部展开就是下面项目的相乘

假设高斯白噪声是独立的，$n(\tau )n(t)$只有特定项（时间相差为1时）相乘才会有值，是狄拉克函数$\delta (t_1-t_2)=1(当且仅当t_1-t_2=1时)$
右因为前面有：

在$t\Delta t$时间内只有一个时刻能使狄拉克函数为1，所以内层积分为1，外层积分为 $(t+\Delta t)-\Delta t=\Delta t$ ，消掉分母即得协方差$\frac{{\sigma }^2}{\Delta t}$。
同理，下面的协方差写法也是做了省略，省略过程见上。

看起来像是开方的，$\sigma$那一项相当于是服从一个$N(0,1)$分布。

结论：bias随即游走噪声方差从连续到离散之间需要$\ast \sqrt{\Delta t}$。（这个推导最后的开放有些看不懂，具体更详细的需要看论文

3.3.2 IMU随机误差的标定

主要是标定协方差，用于IMU选型，确定使用什么灵敏度类型的IMU
random walk noise的标定

艾伦方差的标定的论文：

斜率-0.5处，t=1时的值是高斯白噪声方差的大小，斜率0.5，t=3处值是bias random walk的方差的大小，具体为什么，需要去看论文。（功率谱，靶向量？）

数据仿真部分：
（主要是标定Acc和Gyro的bias的random walk的方差，使用Kalibr_allan）

3.4 IMU数学模型

尺度因子如果标定的话会对精度有小幅提升（MSCKF什么黎明杨做的？VINS-MONO用过）
加计数学模型：加速度计的测量数据由尺度轴偏矩阵，重力分量，高斯白噪声，bias等构成。

陀螺仪数学模型：
下面这篇论文对MSCKF进行了非常详细的建模，如果有兴趣可以看。

4. 运动模型离散时间处理：欧拉法&中值法

如何使用这些数据获得pose：
这里需要强调，重力加速度$g^w$前面的符号是跟坐标系定义有关的，如果是东北天，那就是-，如果是北东地就是+，整体上自洽即可。

基于导数，四元数导数的$\otimes$是四元数乘法，可以积分计算位置，速度，旋转：

欧拉法进行近似，假设在每个积分间隔内，被积函数值保持不变，即k~k+1时刻的积分使用k时刻的值：

关于四元数的更新：
q ω b k + 1 = q ω b k + q ′ Δ t = q ⊗ [ 1 0 ] + q ⊗ [ 0 1 2 ω Δ t ] （ q 提出来） = q ⊗ [ 1 1 2 ω Δ t ]

$$\begin{align} q_{\omega b_{k+1}} &= q_{\omega b_k}+q^{\prime}\Delta t \\ &=q \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}+ q \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{2}\omega \Delta t \end{bmatrix} \\ （q提出来）&=q \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2}\omega \Delta t \end{bmatrix} \\ \end{align}$$ qωbk+1​​（q提出来）​=qωbk​​+q′Δt=q⊗[10​]+q⊗[021​ωΔt​]=q⊗[121​ωΔt​]​​

相较于欧拉法，中值法使用了k&k+1时刻的积分的均值，稍微准一点。
由于k->k+1时间较短，可以使用第k时刻的bias来矫正第k+1时刻的acc和gyro的值

5. IMU数据仿真

两种方式产生IMU仿真数据：

1. 指定轨迹方程，求一阶导，二阶导得加速度等IMU仿真数据。
2. 已有pose轨迹，但不知道方程，使用B-Spline产生IMU仿真数据。
   
   

由于四元数导数

所以四元数更新如上。
SO(3)更新也如上，更直观的方式是转换成欧拉角，需要将body系下的角速度转换为欧拉角速度。

粗略的理解：
旋转顺序是固定的（先绕哪个轴，再绕哪个轴）
最后转的x轴，所以x轴的角速度就是$\frac{d\psi }{dt}$，
绕y轴转完之后还要绕x轴转个$\psi$，所以y轴的角速度要乘一个$R(\psi )$
绕z轴转完之后还绕yx分别转了$\theta$和$\psi$，所以z方向的角速度要多乘个$R(\psi )R(\theta )$

所以就得到了Inertial->body系下的角速度转换矩阵，求逆就得从body->Inernial下的转换。

6. 作业

Reference

1. MSCKF详细建模推导（国外硕士论文）

2. Allan方差曲线论文

3. 离散和连续的IMU随机误差方差推导

4. 6面法标定误差（自己之前看过abstract的）

2014 ICRA：A Robust and Easy to Implement Method for IMU Calibration without
External Equipments

5. IMU数据仿真时IMU body系下的角速度转化为欧拉角速度课件

6. 利用B Spline（B样条）和已有IMU数据你拟合方程，产生IMU数据