Python： 每日一题之汉诺塔（递归、栈）_python汉诺塔的移动次数

题目描述

汉诺塔是一个古老的数学问题： 有三根杆子 A，B，C。A 杆上有 N 个 (N>1) 穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至 C 杆：

• 每次只能移动一个圆盘
• 大盘不能叠在小盘上面

提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。问：如何移？最少要移动多少次？

输入描述

一行，包含 2 个正整数，一个是 N，表示要移动的盘子数；一个是 M，表示最少移动步数的第 M 步。

输出描述

共 2 行。

第一行输出格式为：#No: a->b，表示第 M 步骤具体移动方法，其中 No 表示第 M 步移动的盘子的编号（N个盘子从上到下依次编号为 1 到 n），表示第M步是将 No 号盘子从 a 杆移动到 b 杆（a和 b 的取值均为 {A、B、C}）。

第 2 行输出一个整数，表示最少移动步数。

样例">样例">输入输出样例

示例 1

输入

3 2

输出

#2: A->B
7

 思考：

抽象为数学问题：
　　如下图所示，从左到右有A、B、C三根柱子，其中A柱子上面有从小叠到大的n个圆盘，现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去，期间只有一个原则：一次只能移到一个盘子且大盘子不能在小盘子上面，求移动的步骤和移动的次数

解：（1）n == 1

       　　　　　　第1次  1号盘  A---->C       sum = 1 次

       (2)  n == 2

       　　　　　　第1次  1号盘  A---->B

      　　　　　　 第2次  2号盘  A---->C

       　　　　　　第3次  1号盘  B---->C        sum = 3 次

　　（3）n == 3

　　　　　　　　第1次  1号盘  A---->C

　　　　　　　　第2次  2号盘  A---->B

　　　　　　　　第3次  1号盘  C---->B

　　　　　　　　第4次  3号盘  A---->C

　　　　　　　　第5次  1号盘  B---->A

　　　　　　　　第6次  2号盘  B---->C

　　　　　　　　第7次  1号盘  A---->C        sum = 7 次

不难发现规律：1个圆盘的次数 2的1次方减1

　　　　　　　2个圆盘的次数 2的2次方减1

                         3个圆盘的次数 2的3次方减1

                         。  。   。    。   。 

                         n个圆盘的次数 2的n次方减1

 故：移动次数为：2^n - 1

算法分析（递归算法）：
       我们在利用计算机求汉诺塔问题时，必不可少的一步是对整个实现求解进行算法分析。到目前为止，求解汉诺塔问题最简单的算法还是同过递归来求。

       实现这个算法可以简单分为三个步骤：

       （把n-1个盘子看做一个整体，把第n个盘子看作一个整体）

　　　　（1）     把n-1个盘子由A 移到 B；

　　　　（2）     把第n个盘子由 A移到 C；

　　　　（3）     把n-1个盘子由B 移到 C；

从这里入手，在加上上面数学问题解法的分析，我们不难发现，移到的步数必定为奇数步：

　　　　（1）中间的一步是把最大的一个盘子由A移到C上去；

　　　　（2）中间一步之上可以看成把A上n-1个盘子通过借助辅助塔（C塔）移到了B上，

　　　　（3）中间一步之下可以看成把B上n-1个盘子通过借助辅助塔（A塔）移到了C上；
 

参考代码： 

1、递归实现

n, m = map(int, input().split()) # n 移动的盘子数，m 最少移动步数
sum = 0
def hanoi(x, y, z, n):
    global sum           #global声明变量sum为全局变量。
    #当只有一个圆盘时
    if (n == 1):         #如果只有一个盘子直接拿到C
        sum += 1         #移动次数加一
        if sum == m:   #若 m=0 直接将A-->C
            print(f"#{n}: {x}->{z}")
    #当圆盘数大于一时
    else:
        hanoi(x, z, y, n-1)#将n-1个盘子从A通过C移动到B
        sum += 1
        if sum == m:
            print(f"#{n}: {x}->{z}")
        hanoi(y, x, z, n-1)#调用自身将剩下的n-1个盘子从B通过A移动到C
 
hanoi("A", "B", "C", n)
print(sum)

global语句的用法

语法：
声明此变量为全局变量。

用法：
global [变量名]

注意：
引用全局变量时，不需要global声明；但是后面使用或者修改这个全局变量的时候，需要global声明

 实例

num = 1
def fun():
     global num
     num = 2
     print(num)
 
fun()
print(num)
 
#输出结果为	2
#		 	2