模型介绍-----MLP_mlp模型

导读：M-P 模型是一个神经元结构，但是没有参数学习的过程；感知机将训练数据进行线性划分的分离超平面，引入损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求感知机模型，在此并提出了学习的概念，但无法解决异或运算；多层感知机通过增加层数解决非线性问题，直到1986年Hinton提出了反向传播算法，使得训练多层网络成为可能。

参考文献：《西瓜书》、《统计学习方法》、以及知乎或 CSDN 部分博客

M-P 模型

1943年，McCulloch 将生物神经网络中的神经元模型抽象为" M-P 神经元模型"， n个输入（$x_1,\cdots x_n$），通过带权重的连接（$w_1,\cdots ,w_n$）进行传递，神经元接收的总输入（$\sum w_i\ast x_i$）与阈值 $\theta$ 比较，然后通过激活函数处理以产生神经元的输出。激活函数包括：跃阶函数(0,1,不连续、不光滑)，Sigmoid 函数（（0,1）挤压函数）

感知机 （perceptron）（判别模型）----神经网络和支持向量机的基础

在1957年，美国学者Frank Rosenblatt 提出感知机，一种二值分类的线性分类模型，（特征向量）->实例类别（+1，-1），旨在将训练数据进行线性划分的分离超平面，导入基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求感知机模型。

以线性为例，由两层神经元组成 $x_1$, $x_2$为两个神经元，可以实现与、或、非运算。（$x_1\wedge x_2$）,（$x_1\vee x_2$）,（$x_1\neg x_2$）

其中 $w$ 和 $b$ 为感知机模型参数， $w\in R^n$ 表示权值(weight)或权值向量(weight vector)， $b\in R$ 叫作偏置(bias)， $w\cdot x$ 表示 $w$ 和 $x$ 的内积。sign 是符号函数，即：

超平面 $S$，其中 $w$ 超平面的法向量，$b$ 是超平面的截距。超平面将特征空间划分为两个部分。位于两部分的点(特征向量)分别被分为正、负两类。

数据集的线性可分性

如果存在这样一个超平面，可以将数据集的正负实例点完全正确地划分到超平面的两侧。

1969 Minsky 证明若两类模式是线性可分的，即存在一个线性超平面将他们分开，则感知机的学习过程一定会收敛，否则会震荡，不能求得合适的解。

感知机学习策略

1. 确定超平面（$w$/$b$）, 定义一个损失函数，并极小化。

   损失函数：（1）误分类点的总数，不是参数$w$/$b$的连续可导函数，不易优化；（2）用距离来测量，误分类点到超平面的总距离。(点到直线的距离)
   

2. 对于误分类的数据( 将1误分类为-1，或者将-1误分类为1 )，$-y_i(w\ast x_i+b)>0$, 当$w\ast x_i+b>0$, $y_i<1$， 误分类的集合为M， 误分类点到超平面$S$的总距离为
   

3. 损失函数为：
   

感知机学习算法

感知机学习问题转化为求解损失函数的最优化问题，最优化方法随机梯度下降。

首先，任意选取一个超平面$w_0$, $b_0$ ，然后用梯度下降法不断地极小化目标函数。极小化过程中不是一次使$M$中所有误分类点的梯度下降，而是一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。

对$w$, $b$更新：


算法：

输入： 训练数据集

输出： w, b; 感知机模型$f(x)=sign(w\ast x+b)$

(1) 选取初值 $w_0,b_0$

(2) 在训练集中选取数据 (x_i,y_i)

(3) 如果 $y_i(w\ast x_i+b)\le 0$

                      （2.6），（2.7）
1

(4) 转至(2),直至训练集中没有误分类点。

当一个实例点被误分类，及位于分离超平面的错误一侧时，则调整 $w,b$ 的值，使分离超平面向该误分类点的一侧移动，以减少该误分类点与超平面的距离，直至超平面越过该误分类点使其被正确分类。(与、或、非门都支持)

算法收敛性

误分类的次数k是有上界的，经过有限次搜索可以找到将训练数据完全分开的分离超平面，也就是说，当训练数据集线性可分时，感知机学习算法原始形式迭代是收敛的。

对偶形式

将 $w$ 和 $b$ 表示为实例 $x_i$和$y_i$的线性组合的形式，通过求解其系数而求得 w 和 b 。

逐步修改$w$ 和 $b$，设修改$n$ 次，则w , b 关于 ($x_i,y_i$) 的增量分别是 ${\alpha }_i{y}_i{x}_i$ 和 $\alpha_i y_i $，这里 ${\alpha }_i=n_i\eta$ , 最后的 w , b 可以分别表示为

表示第 $i$ 个实例点由于误分而进行更新的次数，实例点更新次数越多，意味着它距离分离超平面越近，也就越难正确分类, 这样的实例对学习结果影响最大。

多层感知机

解决非线性可分问题，使用多层功能神经元，使用两层感知机解决异或问题。神经元不存在同层相连，也不存在跨层连接。

特点：

1. 参数量大，层数多
2. 丢失像素间空间信息，只接受向量输入

单隐层的多层网络

学习策略–误差逆传播算法（BP Back-propagation）

具体公式在西瓜书上，我的理解还是利用链式法则，从输入到输出的你过程。

训练集 $D=(x_i,y_i)$, $x_i\in R^d,y_i\in R^l$, 输入为d维，输出为l维， 隐藏层的第h个神经元阈值为 ${\gamma }_h$, 输出层的第j个神经元阈值为 ${\theta }_j$

BP算法目标的最小化训练集D上的累积误差

$E=\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m{E}_k$

三种激活函数：ReLU函数，Sigmoid函数，tanh函数

$ReLU(x)=max(x,0)$, 只保留正数元素，并将负数元素清零

Sigmoid 函数可以将元素的值变换到0和1之间, $sigmoid(x)=1/(1+exp(-x))$

tanh函数是将元素值变换到-1和1之间,$tanh(x)=(1-exp(-2x))/(1+exp(-2x))$

用于分类器时，Sigmoid 函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用 Sigmoid 和 tanh 函数。
在神经网络层数较多的时候，最好使用 ReLu 函数，ReLu函数比较简单计算量少，而 Sigmoid 和 Tanh 函数计算量大很多。

这幅图引自博客（https://blog.csdn.net/u011848397/article/details/102733351）

缓解BP网络的过拟合

1. “早停”， 数据分为训练集和验证集，训练集计算梯度、更新连接权和阈值，验证集估计误差，若训练集误差下降，而验证集误差升高，则停止训练
2. 正则化，在误差目标函数中增加一个用于描述网络复杂度的部分，

$$E=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{E}_k+(1-\lambda )\sum _i{w}_i^2$$

全局最优与局部最优

1. 以多组不同参数值初始化多个神经网络
2. 利用模拟退火技术，以一定的概率接收比此次结果更差的结果
3. 随机梯度下降