算法学习之前缀和

目录

前言

前缀和介绍

什么是前缀和

一维数组求解前缀和

二维数组求解前缀项和

例题

1、一维前缀和

2、子矩阵的和

总结

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前言

本文主要介绍基础算法前缀和的原理，分为一维前缀和以及二维前缀和的介绍，并给出相应的例题进行练习。

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前缀和介绍

什么是前缀和

原数组: a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
前缀和 Si为数组的前 i项和
前缀和: S[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]

注意: 前缀和的下标一定要从 1开始, 避免进行下标的转换

s[0] = 0
s[1] = a[1]
s[2] = a[1] + a[2]

前缀和的作用
快速求出元素组中某段区间的和

一维数组求解前缀和

for循环求出 每个S[i] (将 S[0] 定义为 0, 避免下标的转换)
求 [l, r]中的和, 即为 S[r] - S[l-1]

二维数组求解前缀项和

首先先介绍一下二维前缀和数组如何初始化
如下图所示


我们只要S[i,j−1]+S[i−1,j]+a[i,j]就能获取红框所有的数，但由于S[i,j−1]+S[i−1,j]多加上了一个S[i−1,j−1]，我们只要剪掉即可。
S[i,j]即为图1红框中所有数的的和为：
S[i,j]=S[i,j−1]+S[i−1,j]−S[i−1,j−1]+a[i,j]

如何求取(x1,y1),(x2,y2)子矩阵中的所有数之和的原理与初始化类似，只要获取子矩阵的所有数即可

(x1,y1),(x2,y2)这一子矩阵中的所有数之和为：
S[x2,y2]−S[x1−1,y2]−S[x2,y1−1]+S[x1−1,y1−1]

例题

1、一维前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

代码如下：

#include<iostream> 
using namespace std; 
 
const int N = 1e5+10; 
int n,m;  
int pre[N];
 
int main() 
{
    cin>>n>>m; 
    for(int i = 1;i<=n;i++) 
    {
        cin>>pre[i]; 
        pre[i] += pre[i-1];
    } 
    for(int i =0;i<m;i++) 
    {
        int l,r; 
        cin>>l>>r; 
        cout<<pre[r]-pre[l-1]<<endl;
    } 
    return 0;
    
}

2、子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

代码如下：

#include<iostream> 
 
using namespace std;  
 
const int N = 1e4+10; 
 
int n,m,q; 
int a[N][N]; 
 
 
int main() 
{
    cin>>n>>m>>q; 
    for(int i = 1;i<=n;i++) 
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++) 
        {
            scanf("%d",&a[i][j]); 
            a[i][j]  += a[i-1][j] + a[i][j-1] - a[i-1][j-1];
        }
    } 
 
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        int res = a[x2][y2] - a[x2][y1-1] - a[x1-1][y2] +a[x1-1][y1-1]; 
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

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总结

本文简单的介绍了前缀和的知识点，主要分为一维和二维俩汇情况，掌握了一维基础后，可以扩展到二维，同时仍然需要多加练习，掌握二维数组前缀和的公式与原理。
 

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