也就是输出信号和和当前的偏差值成正比关系。Kp为比例系数，当Kp > 0时，输出为正，此时为一个放大器，当Kp < 0时，输出为负，此时为一个衰减器，Kp = 0时，输出为0，此时的系统已经脱离了控制，也就是说P控制器是一个始终有偏差的控制器，有偏差才控制，没有偏差就不关我的事，输出为0就好。

2、I控制器

由上面P控制器得到实际温度 T(x) 的集合{T(x1)，T(x2)，T(x3)......T(x-1)，T(xn)}，以及设置的目标温度值 target 可得当前所有偏差的集合{Error(x1)，Error(x2)，Error(x3)......Error(n-1)，Error(xn)},(Error = target - T(x) )。

设偏差和用SumError表示

则 SumError = Error(x1) + Error(x2) + Error(x3) + ...... + Error(n-1) + Error(xn)

当SumError > 0 时，整体的偏差大于0，说明在过去的一段时间里大部分参数是没有达标的。

当SumError = 0 时，整体的偏差等于0，说明在过去的一段时间里控制效果是达到了标准的。

当SumError < 0 时，整体的偏差小于0，说明在过去的一段时间里大部分参数是超过目标值的。

I控制器公式：

Iout = Kp * SumError

也就是说积分控制器的输出和总的偏差值是成正比关系的。Iout 为积分控制器的输出，Ki为比例系数，SumError为偏差和。

如果大部分参数没达标，那积分控制器就会输出一个正值，来增强输出，即SumError 是大于0 的，如果大部分参数都超过目标值，那么积分控制器会输出负值，来削弱输出，即SumError是小于0的。

积分控制器就是需要看以前一段时间的总偏差值，当前是否合适都没关系，它是看以前怎么样。

3、D控制器

和 I 控制器一样，实际温度 T(x) 的集合{T(x1)，T(x2)，T(x3)......T(x-1)，T(xn)}，由设置的目标温度值 target 可得当前所有偏差的集合{Error(x1)，Error(x2)，Error(x3)......Error(n-1)，Error(xn)}。

设当前偏差为Error(n)，前一时刻偏差为 Error(n -1)，设偏差的差值用 ErrorSubtract 表示

则 ErrorSubtract = Error(n) - Error(n-1)，ErrorSubtract的值是表示两个时刻偏差的变化趋势。

当 ErrorSubtract > 0 时，也是当前偏差比上一次的偏差还要大，系统会越来越偏离目标值。

当 ErrorSubtract = 0 时，也就是当前偏差和上一次偏差相等，系统没有变化。

当 ErrorSubtract < 0 时，也就是当前偏差比上一次偏差要小，偏差有变小的趋势，系统会越来越接近目标值。

D控制器公式：

Dout = Kp * ErrorSubtract ，即D控制器的输出是和偏差的差成正比关系。

4、PID控制器

PID控制器就是将三个控制器加起来就得到PID控制器，即PIDout = Pout + Iout + Dout

即可得到 PID 的数学公式

$PID out = Kp * (error + SumError + ErrorSubtract) + out$

其中 out 是为了不让系统失控，也就是为了不让系统输出为 0 。

SumError 和 ErrorSubtract 的整理

（1）SumError

$SumError = \frac{1}{Ti} * T * \sum Error(xn)$

Ti表示积分时间常数，也指积分项的运行时间，T表示计算周期，也就是更新PID的时间，Ti越大输出越小。

（2）ErrorSubtract

$ErrorSubtract = Td * \frac{Error(n) - Error(n-1)}{T}$

Td表示微分时间常数，也指微分的运行时间，T表示计算周期，也就是多久更新计算一下PID。

5、PID的数学公式

有上面可的PID的数学公式为

$PIDout = Kp [error + (\frac{1}{Ti }*T*\sum error(xn)) + (Td * \frac{error(n)-error(n-1)}{T})]$

其中：PIDout 为控制系统的输出值，error(t)为偏差信号，Kp 为比例项系数，Ki = Kp * (1 / Ti) * T 为积分项系数，Kd = Kp * Td * 1/T 为微分项系数。

根据上述公式可写出如下代码


float  Error,lastError,                           //本次偏差，上次偏差
float  IntegralError,DifferentialError,           //偏差的积分，偏差的微分
float  ProportionOut,IntegralOut,DifferentialOut, //比例项输出，积分项输出，微分项输出
float  T,Ti,Td,                                   //控制周期，积分时间常数，微分时间常数
float  PidOut;                                    //PID最终输出
float  Kp,Ki,Kd;                                  //比例项系数，积分项系数，微分项系数
 
int PID_Controller(float Target,float practical)
{
	Ki = Kp * T * (1/Ti);                         //积分项系数
	Kd = Kp * Td * (1/T);                         //微分项系数
	
	Error 			    = Target - practical;	  //偏差
	IntegralError 		= IntegralError + Error;  //偏差的积分
	DifferentialError 	= Error - lastError;	  //偏差的微分
	
	ProportionOut 		= Kp * Error;			  //比例项输出 = Kp * 偏差
	IntegralOut 		= Ki * IntegralError;	  //积分项输出 = Ki * 偏差的积分
	DifferentialOut 	= Kd * DifferentialError; //微分项输出 = Kd * 偏差的微分
	
	PidOut = ProportionOut + IntegralOut + DifferentialOut; //三个项相加
	
	return PidOut;                                //返回PID计算值
}

三、位置式PID和增量式PID的差别和代码实现

1、位置式PID和增量式PID的差别

这两种PID算法最大的差别就是位置式PID的输出与整个过去的状态都是有关的，用到了误差的累加值，也就是用到了积分运算，而增量式PID的输出只与当前误差以及前两次的误差有关，和以前的误差无关，没有积分的作用。

2、位置式PID

公式如下：

$PID_{out}(k) = K_{_{}_{p}}e(k) + K_{i}\sum_{i = 0}^{k}e(i) + K_{d}[e(k) - e(k-1)]$

比例项e(k)：偏差，即目标值 - 实际值。

积分项∑e(i)：偏差的累加。

微分项e(k) - e(k-1)：偏差的差，即这次偏差 - 上一次偏差。

即当前系统的实际位置，与你想要达到的目标位置的偏差，来进行PID计算控制。

有积分 ∑e(i)的加入，偏差会一直累加，也就是当前的输出与过去的所有状态都有关系，用到了偏差的累加值，位置式PID在积分项达到饱和时误差依然会继续累积，一旦误差开始反向变化，系统则需要一定的时间从饱和区中退出，所以在输出达到最大值或最小值时，要停止积分的作用，并且要有积分限幅和输出限幅的加入，在使用位置式PID时，一般直接使用PD控制，而避免了积分项的影响，位置式 PID 适用于执行机构不带积分部件的对象，如舵机和平衡小车的直立和温控系统的控制。

参考代码如下：


float  Error,lastError,                           //本次偏差，上次偏差
float  IntegralError,DifferentialError,           //偏差的积分，偏差的微分
float  ProportionOut,IntegralOut,DifferentialOut, //比例项输出，积分项输出，微分项输出
float  PidOut;                                    //PID最终输出
float  Kp,Ki,Kd;                                  //比例项系数，积分项系数，微分项系数
 
int PID_Controller(float Target,float practical)
{
	
	Error 			    = Target - practical;	  //偏差
	IntegralError 		= IntegralError + Error;  //偏差的积分
	DifferentialError 	= Error - lastError;	  //偏差的微分
	
	ProportionOut 		= Kp * Error;			 
	IntegralOut 		= Ki * IntegralError;	  
	DifferentialOut 	= Kd * DifferentialError; 
	
	PidOut = ProportionOut + IntegralOut + DifferentialOut; //三个项相加
	
	return PidOut;                                //返回PID计算值
}

3、增量式PID

公式如下：

$\Delta u(k) = u(k) - u(k -1) =K_{p}[e(k) - e(k-1)] + K_{i}e(k) + K_{d}[e(k) - 2e(k-1)+ e(k-2)]$

比例项e(k)-e(k-1)：偏差的差，即当前偏差 - 上次偏差

积分项e(i)：偏差

微分项e(k) - 2e(k-1)+e(k-2)：当前这次的偏差 - 2倍上次偏差 + 上上次的偏差

由增量式PID的公式可以看出，如果确定了 Kp、Ki 、Kd的值，再使用计算的三次的偏差，即可求出输出量。

增量式PID得出的输出量是对应的近几次的偏差增量，而不是对应与实际位置的偏差，并没有误差的累加，也就是说增量式PID是取的增量，并不需要累积误差，输出只与近3次的采样值有关，减少控制量。

参考代码如下：


float    LastError = 0;                        //Error[-1]
float    PrevError = 0;                        //Error[-2]
double   Proportion;                           //比例常数 Proportional Const
double   Integral;                             //积分常数 Integral Const
double   Derivative;                           //微分常数 Derivative Const
 
int PID_Calc(int NextPoint,int SetPoint) 
{
    float Error,Outpid;                         
	iError = SetPoint - NextPoint;             //偏差计算
	Outpid = (Proportion * Error)              //E[k]
		        -(Integral * LastError)        //E[k-1]
				+(Derivative * PrevError);     //E[k-2]	
	PrevError = LastError;                     //存储误差
	LastError = Error;
	return Outpid;                             //返回输出
}

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