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清风老师数学建模笔记——层次分析法_层次分析法作用
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一、引言
1.层次分析法的概念；层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。
2.层次分析法的作用；层次分析法主要用于评价类问题，其思路是将具体的一个问题分解成多个评价指标并两两比较以此来将各指标的重要性，通过这种方法相对客观的给出各指标的权重，并将相应的权重分相加后比较不同方法的综合分以此来评定哪个方法更好。
3.在分析评价类问题时需要想到的问题
（1） 我们评价的目标是什么？
（2） 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
（3）评价的准则或者说指标是什么？ （我们根据什么东西来评价好坏）
三、清风课程大例题
通过建立相关的评价指标（景点景色，旅游花费，居住环境，饮食情况，交通便利程度）可以得出一个简单的评价表
核心问题：如何使我们得出的指标权重相对客观呢？
的比较给出各个指标的权重分。将比较的重要程度用1-9来表示可以得到如下表格解决方法：通过指标之间两两对比，并通过重要程度
通过对不同要素的比较可以引出判断矩阵(将重要程度放在表格内的矩阵，i为行，j为列)
| 景色 | 花费 | 居住 | 环境 | 交通 | |
| 景色 | 1 | 1/2 | 4 | 3 | 3 |
| 花费 | 2 | 1 | 7 | 5 | 5 |
| 居住 | 1/4 | 1/7 | 1 | 1/2 | 1/3 |
| 环境 | 1/3 | 1/5 | 2 | 1 | 1 |
| 交通 | 1/3 | 1/5 | 3 | 1 | 1 |
使用判断矩阵容易出现的问题
假设将苏杭记为A，北戴河记为B，苏杭记为C.当评价A>B且B>C时理论上来说会推出A>C，但是由于主观因素可能会自己记为A小于等于C，这在逻辑上出现了漏洞。
解决方法；在使用该方法之前应先进行一致性检验
当满足该条件时，此时为完全满足一致性（当各行各列成相同倍数关系时也能满足该条件）
一致性检验的具体步骤：
其中λmax为矩阵对应的最大特征值。
在满足一致性条件后可以进行归一化处理，即将各个指标的相对重要程度同时除以指标相对数的和。（一定要除以列里面的数之和）
例如
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
| 苏杭 | 1 | 2 | 4 |
| 北戴河 | 1/2 | 1 | 2 |
| 桂林 | 1/4 | 1/2 | 1 |
此时苏杭权重占比为1/（1+0.5+0.25），北戴河为0.5/（1+0.5+0.25），
桂林为0.25/（1+0.5+0.25）
注意，完全满足一致性的矩阵（正互反矩阵）不同列的纵向相除所得的数完全一致，可直接用来当成权重占比使用，当不一致时，则需要每个列的权重占比都不同，这里举一例。
| 景色 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
| 苏杭 | 1 | 2 | 5 |
| 北戴河 | 1/2 | 1 | 2 |
| 桂林 | 1/5 | 1/2 | 1 |
此时三个列所得的各个权重占比不一致，这里有三种得到最终占比的方法
（1）算数平均数法
（2）几何平均数法
前两种方法求出的结果基本一致
（3）特征值法（最常用）
最终可得到
三、补充
层次分析法的局限性
- 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大，这里推荐n>10时考虑用二级指标。
- 如果决策层指标中的数据是已知的，用层次分析法就不准确了（太主观了）。
四、应用举例
假设你高考完之后填志愿时可以选择两所学校，其中一所是华北电力大学，另一所是武汉理工大学，还有西南交通大学，你选择哪一所学校更好呢？（举例均为假设，仅供学习参考）这里我们将评价指标分解为四项，分别是就业前景，课外活动，学校环境，男女比例，学习氛围。这里评分权重使用网上查询资料来构建判断矩阵W，具体可以查询保研率，考研情况，就业率，就业平均薪资，学校环境在学生中的评价等。
| 就业前景 | 课外活动 | 学校环境 | 男女比例 | 学习氛围 | |
| 就业前景 | 1 | 3 | 3 | 5 | 1 |
| 课外活动 | 1/3 | 1 | 1 | 3 | 1/2 |
| 学校环境 | 1/3 | 1 | 1 | 3 | 1/2 |
| 男女比例 | 1/5 | 1/3 | 1/3 | 1 | 1/3 |
| 学习氛围 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 |
对矩阵W进行归一化可得（各元素除以列和，因为取两位小数所以数值有一点不同）
| 就业前景 | 课外活动 | 学校环境 | 男女比例 | 学习氛围 | ||
| 就业前景 | 0.35 | 0.38 | 0.41 | 0.33 | 0.30 | 1.77 |
| 课外活动 | 0.12 | 0.13 | 0.14 | 0.20 | 0.15 | 0.74 |
| 学校环境 | 0.12 | 0.13 | 0.14 | 0.20 | 0.15 | 0.74 |
| 男女比例 | 0.12 | 0.13 | 0.05 | 0.07 | 0.1 | 0.47 |
| 学习氛围 | 0.29 | 0.23 | 0.26 | 0.20 | 0.3 | 1.28 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
对最右边的一列进行归一化可得向量=(0.36,0.15,0.15,0.09,0.25）
。
这就是我们要求的权重系数了，但是需要先进行一致化检验，具体步骤是将原矩阵W与
列向量=(0.35,0.15,0.15,0.09,0.25）
相乘可得
向量A=
| 1.960 | 0.815 | 0.815 | 0.345 | 1.480 |
max=
=1.96/（5*0.36）+0.815/（5*0.15）+0.815/（5*0.15）+0.345/（5*0.09）+1.480/（5*0.25）=5.213
C.I.=(5.213-5)/(5-1)=0.05325
C.R.=0.05325/1.12=0.0475<0.10
这代表向量=(0.36,0.15,0.15,0.09,0.25）
一致性检验通过，可以使用该数据，将数据填入表格中
| 权重系数 | 华电 | 武理 | 西南交大 | |||
| 就业前景 | 0.36 | |||||
| 课外活动 | 0.15 | |||||
| 学校环境 | 0.15 | |||||
| 男女比例 | 0.09 | |||||
| 学习氛围 | 0.25 | |||||
然后根据就业率，就业平均薪水，中位数薪水填写关于学校的就业前景判断矩阵
| 就业前景 | 华电 | 武理 | 西安交大 |
| 华电 | 1 | 3 | 2 |
| 武理 | 1/3 | 1 | 1/2 |
| 西安交大 | 1/2 | 2 | 1 |
同理根据上面的步骤再次计算就可以了，这里给出就业前景的得分计算结果
| 0.54 | 0.16 | 0.30 |
填入表格中
| 权重系数 | 华电 | 武理 | 西南交大 | |||
| 就业前景 | 0.36 | 0.54 | 0.16 | 0.30 | ||
| 课外活动 | 0.15 | |||||
| 学校环境 | 0.15 | |||||
| 男女比例 | 0.09 | |||||
| 学习氛围 | 0.25 | |||||
| 总得分 | ||||||
其他权重指标得分的计算也是同理，最后将各个权重与学校得分相乘并求和即可得到学校总得分，根据总得分的结果进行决策即可。
这里给的例子有些简单，想更好的学习可以加入到下面清风老师的群中，里面有关于层次分析法的详细计算课件以及代码，可以更好的帮助大家学习。
