密码学之前后向安全性_前向安全性

本文将讨论密码学中的 前向安全性（Forward Security） 与 后向安全性（Backward Security） ，希望读完本文后，你再也不会混淆这两个概念。

在开始本文之前，希望你有如下预备知识：

• 密码学（Cryptography）是一门什么样的学科？
• 单向函数（One Way Function）是什么？有哪些例子？
• 密码算法与密钥是什么？敌手（Adversary）在密码学中是一个怎样的概念？

单向函数与密码算法

现代密码学的基石：伪随机性

Pseudorandomness，即伪随机性，是一个现代密码算法必须要具备的性质，因为从反面考虑，如果你设计的密码算法都做不到「看起来」是随机的，那岂不是很容易就被攻破了？

当然，伪随机性在数学上有着更严格的定义与论证，在密码学中也有更深厚的历史背景（比如其实是姚期智院士率先给出的伪随机性正式定义[1]）。伪随机作为现代密码学的核心要素，如何更好地实现它一直是许多科学家追逐的目标，比如采用物理的随机熵源（真随机数发生器），或者使用一个秘密的随机种子（密钥）等等。一个算法的根基如果不具备良好的伪随机性，Rivest也不能打包票对你说“哦我的老伙计，试试这个RSA吧，它真的很棒”。

在现代密码算法中，伪随机性可以由伪随机数发生器（PseudoRandom Number Generator，PRNG）来提供。这就是说，要设计一个具备伪随机性的密码算法，你可以先明确怎么得到一个PRNG。因此，PRNG这个部件的好坏，将直接决定了算法是否足够安全。PRNG在现代密码学语义中的定义如下：

令$G$为一多项式时间算法，其输入为 s ∈ { 0 , 1 } n s\in \{0, 1\}^{n} s∈{0,1}n，即为一长度为$n$的01比特串，输出的长度记作$l(n)$；其中，$l(\cdot )$也为一多项式时间算法，但与$G$不同的是，$l(n)$只是表示是$n$的多项式界下的一个值，$l(\cdot )$可以等于$n^2$，也可以等于$n$，只要是多项式界内的即可。若G为一PRNG，则应同时满足如下两个条件：

1. 对于任意的$n$，都有$l(n)>n$；
2. 若此时对于任意一具有多项式资源的敌手$\mathcal{A}$，都存在一个可忽略（negligible）的概率$ϵ$，使得下式成立：

$$|\mathrm{P}\mathrm{r}[\mathcal{A}(r)=1]-\mathrm{P}\mathrm{r}[\mathcal{A}(G(s))=1]|\le ϵ$$

其中，$r$为一真随机比特串（不用管它从哪来的），而$G(s)$即为$G$的输出，为一伪随机比特串. 而$\mathcal{A}(r)=1$与$\mathcal{A}(G(s))=1$分别表示敌手$\mathcal{A}$能正确区分出所给比特串是真随机串还是伪随机串。

因此，条件2表明敌手$\mathcal{A}$面对$G$的输出时，只能以一个可忽略的、极小的概率将其与真随机串区分开来，这保证了每个PRNG的输出都会足够贴近真实的随机输出。而对于条件1，如果我们先假设$l(n)\le n$，那这意味着输入与输出都不一定能满足双射的条件，即PRNG的一个输出甚至可能对应着多个输入。由此，这样的PRNG很容易就被攻击者猜解碰撞出来了；因此如果令$l(n)>n$，如$l(n)=2n$，那么一个输入$s$则平均对应着$2^n=2^{2n}/2^n$个PRNG输出，也就是这是一种非常稀疏的映射关系，这种「扩展性」保证了采取穷举手段从PRNG的输出空间来进行碰撞是困难的。

现在我们有了伪随机性这把（简陋）的螺丝刀，还能造出更好的工具吗？

单向函数

首先便是直接由伪随机性抽象而来的、更加直观的，但也非常重要的性质：One-Wayness，即单向性。顾名思义，再结合PRNG的定义，相信大家此时对单向性及单向函数（One-Wayness Function, OWF）也会有这样一个模糊理解：

给函数一个$x$，可以跟容易算出对应的函数值$y$，但是对于函数值$y$，很难逆推得到原来的$x$

这种理解其实已经非常接近单向函数的正式定义了，如下所示:

一个函数f若称为单向函数，则应满足如下两个条件：

1. （容易计算）存在一多项式时间算法$A_f(\cdot )$，对于任意输入 x ∈ { 0 , 1 } ∗ x \in \{0, 1\}^{*} x∈{0,1}∗，都能在多项式时间内输出$A_f(x)=f(x)$;
2. （难以求逆）对于所有的多项式时间算法$D(\cdot )$，都存在一个极小的可忽略概率$ϵ$，使得下式成立:

$$Pr[D(f(x))\in f^{-1}(f(x))]\le ϵ$$

其中，$x$的选取是从 { 0 , 1 } n \{0,1\}^{n} {0,1}n中随机均匀采样。在上述定义中，难以求逆这一性质只需要在输入是均匀选取的这一条件下成立即可，即对于极个别的输出点，攻击者还是有可能还原其对应的输入的。在某些比较极端的定义里，难以求逆这一性质甚至只要求在输入$x$足够长时才满足。

此时你可能会说，既然一个单向函数是容易计算的，那对于一个特定的输出$y$，那我为什么不能试着遍历所有$x_i$，从而找到$f(x^{\ast })=y$？没错，任何单向函数在给出足够时间和计算资源的条件下，都是可求逆的；但不要忘记条件2中面向的是多项式时间算法，对于那些指更高级的攻击算法，单向函数可能真的一下就被攻破了。因此，条件2所谓的难以求逆，实际上是难以「高效」求逆。

实际上，任意一个PRNG都可看作是一个单向函数 [2]，而要证明这一点，即证「对于一个PRNG算法 $\mathcal{G}$，如果存在敌手$\mathcal{D}$能以不可忽略的概率对 $\mathcal{G}$的输出结果求逆，那么存在一敌手${\mathcal{D}}^{{}^{\prime }}$也能以不可忽略的概率分辨$\mathcal{G}$的输出与真随机串」。一般而言这种证明采取“安全性归约”的方法即可，不过这和本文内容无关。总之，基于PRNG可以构造出单向函数，而有了单向函数这个「高级扳手」，我们就可以造出更方便的工具了，比如大名鼎鼎的（密码学安全的）哈希函数。

阿克琉斯之踵：密钥的管理

PRNG与OWF由于其简洁但重要的计算性质，常被用于生成密码算法的密钥，而PRNG这种「看起来」随机的特点，正是方便我们生成一些别人不想预测出的敏感信息。另外，OWF则能帮助我们为已有密钥提供一个「陷门」（Trapdoor），陷门的输出（通常为OWF的输出）可以作为新密钥、或者某个公开校验值等等。

二者的配合让一个系统中，密钥的在线更新成为了可能。如果一个OWF提供的伪随机性足够好，那我们是不是可以用它源源不断地生成新密钥呢？当然可以！

如上图所示，系统管理员可以使用当前密钥$K_i$、当前时间戳$t_i$以及一个盐值Salt（如0x12345），在MD5这一哈希函数的帮助下源源不断的迭代出新密钥$k_{i+1}=\mathrm{M}\mathrm{D}5(k_i||t_I||Salt)$。当然，MD5可以替换为其他常见的、更安全的哈希函数。

可是，随着密码分析技术的不断增强，原来认为安全的MD5目前来看也不那么安全了，原本的单向函数也不再那么单向了。而管理员此时还觉得:

反正我密钥一直都在给你们更新，况且MD5也没那么容易被攻击，这个方案又不是不能用

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