龙格-库塔(Runge-Kutta)方法_龙格库塔离散化方法

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-05-07 18:34:48

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龙格库塔离散化方法

方法标签：常微分方程数值解
简介：龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

对于微分方程y'=f(x,y)，离散化得到 y(xi+1)=y(xi)+h*K1，其中：K1=f(xi,yi)。当用左端点xi处的斜率近似值K1与右端点(xi+1)处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进拉格朗日中值定理y(xi+1)=y(xi)+h*(K1+ K2)/2，其中：K1=f(xi,yi)，K2=f(xi+h,y(xi+h*K1)。

依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。

经数学推导、求解，可以得出四阶龙格-库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格-库塔算法，即RK4:

y(xi+1)=y(xi)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)

K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)

K4=f(xi+h,yi+h*K3)

此时的四个系数不能并行求出。

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