北航面试之离散数学_群中任何元素与其逆元阶相同

一.掌握运算和代数系统的概念.

1.运算定义：设X是个集合，f:Xn®Y是个映射，则称f是

   X上的n元运.(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)

2代数系统定义：X是非空集合，X上的m个运算

  f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X, f1,f2,…fm> ( m≥1)

二.熟练掌握二元运算的性质的判断及证明：

<X,«>和<X,«, o>是代数系统, «,o 是二元运算：

1.封闭性："x,y∈X, 有 x«y∈X。

2.可交换性："x,y∈X, 有 x«y=y« x。

3.幂等性： "x∈X,  有 x«x=x。

4. 有幺元： e∈X, "x∈X，有 e«x=x«e=x.

5.有零元: θ∈x,"x∈X，有θ«x=x«θ=θ.

6.可结合性："x,y,z∈X, 有 (x«y)«z =x«(y«z)。.

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7.有逆元： x∈X, 有x-1∈X，使得 x-1«x=x«x-1=e

8.可消去性： a∈X，"x, y∈X,有

     (a«x=a«y)∨(x«a=y«a) Þ x=y.   

9.分配律： «对o可分配："x,y,z∈X，有

     x«(yoz)=(x«y)o(x«z)    或 (xoy)«z =(x«z)o(y«z)

10.吸收律："x,y∈X，有 x«(xoy)=x  和   xo(x«y)=x

对这些性质要求会判断、会证明。

三.掌握代数系统同构定义,会证明.了解同构性质的保持

1.定义设<X,«>,<Y, o>是两个代数系统，«和 o 都是二元

运算，如果存在映射f:X®Y,使得对任何x1 ,x2∈X，有

      f(x1«x2)=f(x1)of(x2) --------此式叫同态(同构)关系式

则称 f是从<X,«>到<Y, o>的同态映射，简称这两个代数

系统同态。记作X∽Y。

并称<f(X), o >为<X,«>的同态像。

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如果f是满射的，称此同态f是满同态。

如果f是入射的，称此同态f是单一同态。

如果f是双射的，称<X,«>与<Y, o>同构，记作X≌Y。

f是<X,«>到 <X,«>的同态(同构),称之为自同态(自同构)。

2.代数系统同构性质的保持

代数系统<X,«>, <Y, Å>, X≌Y, f:X®Y是同构映射, 如果

<X,«>中«满足交换、结合、有幺元、有零元、每个元

素可逆, 则<Y,Å>中Å也满足上述性质。反之亦然.

3.同态核

定义：f是从<X,«>到 <Y,Å>的同态映射, (X∽Y),e«和 eÅ 分别是X、Y中幺元。定义集合ker (f)为：

       ker (f)={x|x∈X∧f(x)= eÅ }称ker (f)为 f的同态核。

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四.掌握半群,独异点,群,环和域的概念.

 

 

环: <R,+,·>

<R,+>是交换群

<R,·>是半群

·对+可分配

 

整环<R,+,·>

<R,+>是交换群

<R,·>是可交换独异点

无零因子(ab=0则a=0或b=0)

·对+可分配

 

域<F,+,·>             <F, +>是交换群

<F-{0},·>是交换群    

 ·对+可分配

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五.熟练掌握群的阶和元素的阶的概念及群的性质.

 1.群的阶:<G,*>是群 ,如果K[G]=n (n是正整数), 则G是n

阶群.否则G是无限阶群.

 2.元素的阶:设<G,«>是个群，a∈G，如果存在正整数k，

使得ak=e,则称a的阶是有限的。如果存在最小的正整数n，

使得an=e,则称a的阶是n。否则就称a的阶是无限的。

定理6-5.7：<G,«>是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则

  ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍)

定理6-5.8. 群中的元素与其逆元 具有相同的阶。

定理6-5.9  有限群中，每个元素的阶都是有限的。

   

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   3.群的性质

    1).群满足可消去性

定理6-5.1设<G,«>是个群，则对任何a,b,c∈G, 如果有

     ⑴   a«b=a«c   则  b=c 。  

     ⑵   b«a= c«a    则 b=c 。

   2). 群方程可解性

定理6-5.2 设<G,«>是个群，则对任何a,b∈G,

     ⑴   存在唯一元素 x∈G, 使得 a«x=b ……..⑴

     ⑵   存在唯一元素 y∈G, 使得 y«a=b ……..⑵

   3). 群中无零元。

定理6-5.3 设<G,«>是个群,如果K[G] ≥2,则G中无零元.

   4). 群中除幺元外，无其它幂等元。

   5).定理6-5.5 <G,«>是个群，对任何a,b∈G,有

       ⑴  (a-1)-1 =a                ⑵  (a«b)-1=b-1«a-1

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   6). 有限群的运算表的特征

定理6-5.6 <G,«>是个有限群，则G中每个元素在«运算

表中的每一行(列)必出现且仅出现一次。

 

练习题:给定群<G,*>,*的运算表如

右图所示.求解下面群的方程:

   b*d-1*x*c=d*c-1

解: b*d-1*x*c=d*c-1 ∵ d-1=b  c-1=c

    ∴  b*b*x*c=d*c ∵ b*b=c ∴ c*x*c=d*c

    消去c得  c*x=d  

    解得:  x=c-1*d=c*d=b

 

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l 六.掌握交换群(会证明)

l 练习题1.给定集合Ｇ＝{x|x是有理数且x≠1}，在Ｇ上定义二元运算*如下：任何a，b∈Ｇ   a*b=a+b-ab

l 求证<Ｇ，*>是个交换群。

l 证明:1.证封闭性.任取a,bÎG,∴a≠1,b≠1,

l a*b=a+b-ab 若a+b-ab=1,则b=    =1, 产生矛盾.

l 所以 a+b-ab≠1  ∴ a*bÎG

l 2.证可结合性,任取a,b,cÎG,∴a≠1,b≠1,c≠1,

l a*(b*c)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)

l =a+b+c-bc-ab-ac+abc=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=(a*b)*c

l 3.证有幺元0,任取aÎG,

l   a*0=a+0-a0=a  0*a=0+a-0a=a  所以0是幺元.

 

 

 

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l 4.证可逆性.任取aÎG,a≠1,设有b,使得

l   a*b=a+b-ab=0 ∴ a+(1-a)b=0, b=   ≠1 ∴bÎG  

l a*b=0 且b*a=   *a=    +a-    a=           =0

 

l 所以a有逆元b.即a-1=

 

l 5.证交换性.任取a,bÎG,

l   a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a

 

l   综上所述<G,*>是个交换群.

 

 

 

 

 

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l 七. 了解循环群.

l    1.循环群的定义:设<G,«>是群,如果存在一个元素g∈G, 使得对每个 x∈G, 都存在整数i, 有x=gi, 则称<G,«>是个循环群. 并称g是G的生成元.

l    2.循环群的循环周期:

l         周期有限:为k;

l         周期无限:

l    3.两种循环群:

l       <Nk,+k>: 周期为k;

l       <I,+>    : 周期无限.

 

 

 

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八.会证明子群,会应用Lagrange定理及其推论.

 1.子群的证明方法:

方法1.用子群的定义，即证明运算在子集上满足封闭、

有幺元、可逆。

方法2. 设<G,«>是群, S是G的非空子集，如果

<S,«>满足：封闭性和可逆性,则<S,«>是<G,«>的子群。

方法3.设<G,«>是群, B是G的有限子集,如果«在B上满足

封闭性，则<B,«>是<G,«>的子群。

方法4. 设<G,«>是群, S是G的非空子集，如果任何a,b∈S   有a«b-1∈S, 则<S,«>是<G,«>的子群。

 

 

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练习题2:设f和g都是群<G1,«>到<G2, o >的同态，证明

<C,«>是<G1,«>的一个子群，其中

     C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}

证明：方法1，用子群定义证明<C,«> 满足：

a)封闭性.任取x1, x2∈C,(推出x1«x2∈Cf(x1«x2)=g(x1«x2))

∴ f(x1)=g(x1)   f(x2)=g(x