【C++的剃刀】我不允许你还不会AVL树

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 学习编程就得循环渐进，扎实基础，勿在浮沙筑高台  

 循环渐进Forward-CSDN博客

Hello,这里是kiki，今天继续更新C++部分，我们继续来扩充我们的知识面，我希望能努力把抽象繁多的知识讲的生动又通俗易懂，今天要讲的是C++AVL树~

目录

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AVL树的概念

AVL树节点的定义

AVL树的插入

AVL树的旋转

AVL树的验证 

AVL树的删除(了解)

AVL树的性能

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法： 当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 )，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

它的左右子树都是 AVL 树

左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1)

，搜索时间复杂度

AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
 AVLTreeNode(const T& data)
     : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
 , _data(data), _bf(0)
 {}
 AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
 AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
 T _data;
 int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

AVL树的插入

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
{
while (pParent)
 {
        // 更新双亲的平衡因子
 if (pCur == pParent->_pLeft)
 pParent->_bf--;
 else
 pParent->_bf++;
 // 更新后检测双亲的平衡因子
 if (0 == pParent->_bf)
       {    
            break;
       }
 else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
 {
              // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲
为根的二叉树
              // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
 pCur = pParent;
 pParent = pCur->_pParent;
 }
 else
 {
 if(2 == pParent->_bf)
             {
                  // ...
             }
              else
             {
                  // ...
             }
 }
 }
 return true;
}

AVL树的旋转

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{
 PNode pSubL = pParent->_pLeft;
 PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    
    // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子
 int bf = pSubLR->_bf;
    
    // 先对30进行左单旋
 _RotateL(pParent->_pLeft);
    
    // 再对90进行右单旋
 _RotateR(pParent);
 if(1 == bf)
 pSubL->_bf = -1;
 else if(-1 == bf)
 pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧 --- 右左：先右单旋再左单旋

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

       1、当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋

        2、当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

        1、当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

        2、当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树的验证 

1. 验证其为二叉搜索树

        1、如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

        1、每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)

        2、节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
 // 空树也是AVL树
 if (nullptr == pRoot) return true;
    
 // 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
 int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
 int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
 int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
 if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
 return false;
 // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
 return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-
>_pRight);
 }

AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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