概率统计D 01.06 伯努利概型_伯努利概型时间至少发生1次的概率

$\color{blue}{\S 1.6伯努利概型}$

$如果一个试验E只有两个结果A与\bar A,把这个试验重复独立地进行n次,\\ 所构成的联合试验称为n重伯努利概型,记为E^n.$

$若,P(A) = p, P(\bar A) = 1 - p(0 < p < 1),则n重伯努利概型中,\\ 事件A发生k次概率P_n(k)为\\ P_n(k) = \dbinom{n}{k} P^k(1-p)^{n -k}, k = 0, 1, 2, \cdots, n.\\ 事实上,事件A在指定的k次发生,其余n-k次不发生的概率为\\ p^k(1-p)^{n-k},而在n次重复独立试验中,恰有k次发生A的个\\ 数为\dbinom{n}{k}个,所以\\ P_n(k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k = 0, 1, 2, \cdots, n. \\ 这个公式称为二项概率公式.$

$在n重伯努利概型中, 事件A至少发生一次的概率为:\\ P_n(\geq 1) = 1 - P_n(0) = 1 - (1 - p)^n.$

$例1.某人向一目标独立射击100次,每次命中概率为0.1,\\ 求恰好击中两次和至少击中一次的概率.$
$解:这是一个100重伯努利概型,p = 0.1,设B_1表示事件恰好击中两次,\\ B_2表示事件至少击中一次,则\\ P(B_1) = P_{100}(2) = \dbinom{100}{2}0.1^2(1-0.1)^{(100-2)} = 0.0016, \\ P_{100}(\geq 1) = 1 - P_{100}(0) = 1 - (1 - 0.1)^{100} = 0.99997$
$从上例中可以看出,每次射击命中的概率很小,只有0.1,\\ 但重复进行下去,几乎肯定能够击中目标.$

$例2.某车间有10台机床相互独立地运行,设每台机床出故障的概率为0.2,\\ 求在同一时刻有3台到5台机器出故障的概率.$
$解:这是10重伯努利概型,p = 0.2,设A_i表示恰有i台机床出现故障,\\ i = 3,4, 5. 则所求概率为,\\ p = P(A_3 + A_4 + A_5) \\ = P_{10}(3) + P_{10}(4) + P_{10}(5) \\ = \dbinom{10}{3}0.2^3(1-0.2)^{(10 - 3)} \\ + \dbinom{10}{4}0.2^4(1-0.2)^{(10 - 4)} \\ + \dbinom{10}{5}0.2^5(1-0.2)^{(10 - 5)} \\ = 0.315$

$例3.在100件产品中有10件次品,现随机抽取5次,每次取1件,\\ 取后放回.求取出2件次品和至少取到一件次品的概率.$
$解:每次抽取有两种可能结果,即取次品(记为A)或取正品(记为\bar A),\\ P(A)= \dfrac{10}{100} = 0.1.因每次取后放回,5次抽取是独立进行的,\\ 所以可看成是5重伯努利概型, p = 0.1.据二项概率公式,\\ 取出2件次品的概率为: \\ P_5(2) = \dbinom{5}{2} 0.1^2(1 - 0.1)^3 = 0.0729 \\ 至少取到一件次品的概率为:\\ P_5( \geq 1) = 1 - P_5(0) = 1 - 0.9^5 = 0.41$

$例4.已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为0.96,\\ 问需要发射几枚导弹,才能保证击中敌机的概率大于0.999?$
$解:设需要发射n枚导弹, p = 0.96,由题意, \\ P_n(\geq 1) > 0.999, \\ 而P_n(\geq 1) = 1 - P_n(0) = 1 - (1 - 0.96)^n, 于是 \\ 1 - (1 - 0.96)^n > 0.999, \\ 即有 0.04^n < 0.001, \\ 解得n > \log _{0.04} 0.001 = \dfrac{ \ln 0.001}{\ln 0.04} = 2.15. \\ 所以应取n = 3,即需要发射3枚导弹.$