三角函数，正弦，余弦，正切讲解_正弦函数图像及性质

一、正弦函数

1 图形性质

定义域 x为任一实数（实数集合）
值域 y = [-1,1] —正弦函数有界性

2 周期性

2π 为一个周期

3 最值及零点

1 最大值：当 x = π/2 +2kπ 时, k∈Z，y为最大，即 y =1
2 最小值：当 x = 3π/2 +2kπ 时, k∈Z，y为最小，即 y = -1
3 零点：当x =kπ 时 k∈Z ，为零值，即 y =0

4 对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形
1 轴对称：关于直线 x = π/2 +kπ， k∈Z 对称
2 中心对称 ：关于点（kπ，0），k∈Z 对称

5 奇偶性

奇函数（图像关于原点对称）

6 单调性

在区间 [ -π/2+ 2kπ，π/2+ 2kπ] ,k∈Z 上单调递增
在区间 [ π/2+ 2kπ，3π/2+ 2kπ] ,k∈Z 上单调递减

7 函数及性质

正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）
A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数，正扩负缩）
h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

二 余弦函数

1 图形性质

定义域 x为任一实数（实数集合）
值域 y = [-1,1] —正弦函数有界性

2 周期性

2π 为一个周期

3 最值及零点

1 最大值：当 x = 2kπ 时, k∈Z，y为最大，即 y =1
2 最小值：当 x = π +2kπ 时, k∈Z，y为最小，即 y = -1
3 零点：当x =π/2+kπ 时 k∈Z ，为零值，即 y =0

4 对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形
1 轴对称：关于直线 x = kπ， k∈Z 对称
2 中心对称 ：关于点（π/2+kπ，0），k∈Z 对称

5 奇偶性

偶函数（图像关于y轴对称）

6 单调性

在区间 [ -π+ 2kπ，2kπ] ,k∈Z 上单调递增
在区间 [ 2kπ，π+ 2kπ] ,k∈Z 上单调递减

7 函数及性质

正弦型函数解析式：y=Acos（ωx+φ）+h
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）
A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数，正扩负缩）
h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

三 正切函数

1 图形性质

定义域： {x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。即x 不能等于 π/2 +kπ，k∈Z
值域 y = 实数集R ，无界性

2 周期性

π 为一个周期

3 最值及零点

1 最大值：无最大值
2 最小值：无最小值
3 零点：当x = kπ 时 k∈Z ，为零值，即 y =0

4 对称性

无轴对称，只有中心对称
1 轴对称：无轴对称
2 中心对称 ：关于点（kπ，0），k∈Z 对称

5 奇偶性

奇函数（图像关于原点对称）

6 单调性

在区间 [ -π/2+ kπ，π/2+kπ] ,k∈Z 上单调递增
无单调递减区间

四 象限正负

1 正弦函数从第一象限到第四象限正负情况为 ：正正负负
2 余弦函数从第一象限到第四象限正负情况为 ：正负负正
3 正切函数从第一象限到第四象限正负情况为 ：正负正负

象限正负可以通过单位圆来更好的理解，如下图所示

以原点（0,0）为圆心，半径 r 为1 画圆就是单位圆，这样圆内就有四个象限
第一象限 α∈[0，π/2] ，在 x正轴上 α =0
第二象限 α∈[π/2，π] ，在 y正轴上 α =π/2
第三象限 α∈[π，3π/2] ,在 x负轴上 α =π
第四象限 α∈[3π/2，2π] 在 y负轴上 α =3π/2

以半径 r 和 x轴的夹角为 α ，则有：
sinα = y / r
cosα = x / r
tanα = y / x
因为 r 等于1 且为正 所以有
在坐标轴中，对于正弦则有：

当 y>0时 ,即α∈[0，π] ，正弦为正，当 y<0时，即α∈[π，2π]，正弦为负，y =0时 ，在x轴上时，即α=0或 α=π，正弦为0

在坐标轴中，对于余弦则有：

当 x>0时 ,即α∈[0，π/2] 或α∈[3π/2，2π] 余弦为正，当 x<0时，即α∈[π/2，π] 或α∈[π，3π/2] ，余弦为负，x =0时 ，即在y轴上时，即α=π/2或 α=3π/2，余弦为0

在坐标轴中，对于正切则有：

当 x和 y同号时，即x >0,y >0或x < 0,y <0，α∈[0，π/2] 或α∈[π，3π/2]，正切为正，当 x和 y异号时，即x >0,y <0或x < 0,y >0，α∈[π/2，π] 或α∈[3π/2，2π]，正切为负，当 y=0时，在x轴上时，即α=0或 α=π，正切为0。x为除数，等于0时无意义，但是正切函数是过原点，所以在无限周期内，有且只有一个点是x=0的，即过原点时，此时正切也为0。

五 三角函数公式

注：里面加了正割（sec），余割（csc），余切（cot或ctg）,基本用不到，常见的就是讲的三种。后三种只是前三种两条边交换了一下位置而已。

1 倒数关系

sinα cscα =1
cosαsecα =1
tanα*cotα =1

2 商数关系

tanα = sinα / cosα
cotα = cosα / sinα

3 平方关系

sin²α + cos²α = 1
1 + cot²α = csc²α
1 + tan²α = sec²α

4 诱导公式

1 α为锐角
sin(2kπ + α) = sinα （k∈Z）
cos(2kπ + α) = cosα （k∈Z）
tan(kπ + α) = tanα （k∈Z）

2 α为锐角
sin(π + α) = -sin(α)
cos(π + α) = -cos(α)
tan(π + α) = tan(α)
sin(π - α) = sin(α)
cos(π - α) = -cos(α)
tan(π - α) = -tan(α)
sin(- α) = -sin(α)
cos(- α) = cos(α)
tan(- α) = -tan(α)
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα

3 两角和与差的三角函数公式万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝ （tanα＋tanβ）/ （1－tanα *tanβ）
tan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（ 1＋tanα *tanβ）

sinα＝2*tan(α/2) / （ 1＋tan2(α/2)）
cosα＝（1－tan2(α/2)）/ （1＋tan2(α/2)）
tanα＝（2tan(α/2)）/ （1－tan2(α/2) ）

4 三角函数的降幂公式
sin²α = （1 - cos2α）/2
cos²α =（1 + cos2α）/2

5 二倍角公式
sin2α＝2sinα*cosα
cos2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－sin²α
tan2α＝（2tanα）/ （ 1－tan²α ）

6 三角形公式
S = sqrt( P(P-a)(P-b)(P-c) ) //三角形面积公式
其中P = (a+b+c) / 2

cosα = (b² + c² - a²) / 2bc //同理可推出其他两个角的余弦值。
a / sinα = b / sinβ = c / sinγ = 2R = D
其中 α，β，γ为三角形三条边 a，b，c的对角，R和D为三角形外接圆的半径和直径