84、浅谈原始对偶算法_一阶原始对偶算法

原始对偶算法理解过很多次，每一个的理解都不一样，这次将其记录一下

这里定义原始问题为资源有限下的价值最大化模型，A是资源消耗矩阵，b是资源量，c是产品价值向量

max cTx

s.t. Ax <= b

对偶的定义是啥呢，它先组合一下原始的约束，组合权重用y表示，那么组合出来的向量为ATy，我约束其在每个维度的值都大于c，强行赋一个定义可以是保证价值情况下的资源最小化，这样对偶问题就被构造出来了，不难可以知道bTy >= xTATy >= xTc，

min bTy

s.t. ATy >= c

2、

如果x0，y0分别是原始问题和对偶问题的最优解，那么有bTy0 = x0TATy0 = x0Tc。

证明：因为原始问题有最优解，由单纯形法可知，x0 = B-1b，故x0Tc = bT(B-1)Tc >= bTy0，而bTy0 >= x0TATy0 >= x0Tc ，故bTy0 =  x0Tc， 故bTy0 = x0TATy0 = x0Tc

这里证明不难，但结论是非常好的，给大家一个体感就是原始问题紧的地方（最优解时为等号的约束）在对偶问题里往往是松的（有可能为紧），但原始问题松的地方对偶问题一定是紧的

3、

互补松弛条件是原始对偶算法的基础，流程为：原始P--对偶D--限制原始RP-限制原始对偶DRP，其基本思想有一个可行解时，再去找对偶问题的可行解，然后按互补松弛的条件不断的迭代

附：

单纯形法从原问题(P)的一个可行解出发, 在满足互补松弛条件的前提下, 使得其对偶变量朝着对偶可行解的方向迭代.