对称数
1.定义】一个整数，它的各位数字如果是左右对称的，则称这个数是对称数。
例如：1234321、123321等。
一般来说，位数大于或等于两位。最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的。
【分类】对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数。
奇位对称数是指位数是奇数的对称数。奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数。
偶位对称数是指位数是偶数的对称数。偶位对称数没有对称轴数。
【产生方法】产生对称数的方法有两种：
(1)形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数。如：
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
……
(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数。
如：475
475+574=1049
1049+9401=10450
10450+05401=15851
15851便是对称数。
2.
完全数（Perfect number，又称完美数）是一些特殊的自然数。
盈数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做亏数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。
毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了，即使没有上帝创造世界这种事，6仍旧不失其为完数。
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。
欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数。p=2，2^p-1=3是质数，(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6，p=3，2^p-1=7是质数，(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么条件下才是质数呢?
当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数！顾名思义，就是梅森第一个系统地研究这种形式的素数的！事实上，至今，人类只发现了44个梅森素数，也就是只发现了44个完全数！[font style="FONT-SIZE: 16pt; FONT-FAMILY: Dotum; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-bidi-language: AR-SA"][font]<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11 @9 @11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"> [font][font]<v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t" o:spt="75" coordsize="21600,21600"> </v:shapetype>[/font][/font]</v:shapetype>[/font][/font]
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序号 p 位数 发现时间 发现者 (reference)
1 2 1 （无从考究） （无从考究）
2 3 2 （无从考究） （无从考究）
3 5 3 （无从考究） （无从考究）
4 7 4 （无从考究） （无从考究）
5 13 8 1461 Reguis(1536), Cataldi(1603)
6 17 12 1588 Cataldi (1603)
7 19 19 1588 Cataldi (1603)
8 31 10 1750 Euler (1772)
9 61 19 1883 Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)
10 89 27 1911 Powers (1911)
11 107 33 1913 Powers (1914)
12 127 39 1876 Lucas (1876)
13 521 157 Jan. 30, 1952 Robinson (1954)
14 607 183 Jan. 30, 1952 Robinson (1954)
15 1279 386 Jun. 25, 1952 Robinson (1954)
16 2203 664 Oct. 7, 1952 Robinson (1954)
17 2281 687 Oct. 9, 1952 Robinson (1954)
18 3217 969 Sep. 8, 1957 Riesel
19 4253 1281 Nov. 3, 1961 Hurwitz
20 4423 1332 Nov. 3, 1961 Hurwitz
21 9689 2917 May 11, 1963 Gillies (1964)
22 9941 2993 May 16, 1963 Gillies (1964)
23 11213 3376 Jun. 2, 1963 Gillies (1964)
24 19937 6002 Mar. 4, 1971 Tuckerman (1971)
25 21701 6533 Oct. 30, 1978 Noll and Nickel (1980)
26 23209 6987 Feb. 9, 1979 Noll (Noll and Nickel 1980)
27 44497 13395 Apr. 8, 1979 Nelson and Slowinski
28 86243 25962 Sep. 25, 1982 Slowinski
29 110503 33265 Jan. 28, 1988 Colquitt and Welsh (1991)
30 132049 39751 Sep. 20, 1983 Slowinski
31 216091 65050 Sep. 6, 1985 Slowinski
32 756839 227832 Feb. 19, 1992 Slowinski and Gage
33 859433 258716 Jan. 10, 1994 Slowinski and Gage
34 1257787 378632 Sep. 3, 1996 Slowinski and Gage
35 1398269 420921 Nov. 12, 1996 Joel Armengaud/GIMPS
36 2976221 895832 Aug. 24, 1997 Gordon Spence/GIMPS
37 3021377 909526 Jan. 27, 1998 Roland Clarkson/GIMPS
38 6972593 2098960 Jun. 1, 1999 Nayan Hajratwala/GIMPS
39 13466917 4053946 Nov. 14, 2001 Michael Cameron/GIMPS
40 20996011 6320430 Nov. 17, 2003 Michael Shafer/GIMPS
41 24036583 7235733 May 15, 2004 Josh Findley/GIMPS
42 25964951 7816230 Feb. 18, 2005 Martin Nowak/GIMPS
43 30402457 9152052 Dec. 15, 2005 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
44 32582657 9808358 Sep. 4, 2006 Curtis Cooper and Steven Boone/GIMPS
第44个梅森素数是现今人类已知的最大的素数！
3.圣经数
153被称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》中约翰福音第21章：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几尾来。”西门·彼得就去把网拉到岸上。那网网满了大鱼，共一百五十三尾。鱼虽这样多，网却没有破。
奇妙的是，153具有一些有趣的性质。153是1~17连续自然数的和，即：1＋2＋3＋……＋17＝153。任写一个3的倍数，把各位数字的立方相加，得出和，再把和的各位数字立方后相加，如此反复进行，最后必然出现“圣经数”。
例如：24是3的倍数，按照上述规则，进行变换的过程是：
24→2³＋3³→（72）→7³＋2³→（351）→3³＋5³＋1³→153
“圣经数”出现了！
再如，123是3的倍数，变换过程是：
123→1³＋2³＋3³→（36）→3³＋6³→（243）→2³＋4³＋3³→（99）→9³＋9³→（1458）→1³＋4³＋5³＋8³→（702）→7³＋2³→（351）→3³＋5³＋1³→153
"圣经数"的这一奇妙的性质是以色列人科恩(P. Kohn)发现的.后来,世界著名科普杂志---英国<<新科学家>>周刊上负责常设专栏的一位学者奥皮亚奈(T. H. O'Beirne)已对此作了证明.<<美国数学月刊>>对有关问题作了进一步探讨.
4.自守数
如果某个数的平方的末尾极为数等于这个数，那么就称这个数为自守数。
显然，5和6是一位自守数（5x5=25 6x6=36）
25x25=625 76x76=5776，所以25和76是两位自守数。
自守数有一个特性，以他为后几位的两个数相乘，乘积的后几位仍是这个自守数。因为5时自守数，所以以5为个位数的两个数相乘，乘积的个位仍然是5；76是自守数，所以以76为后两位数的两个数相乘，其结果的后两位仍是76，如176x576=101376。
虽然0和1的平方的个位数仍然是0和1，但是他们太“平凡”了，研究他们没有意义，所以不算自守数。
三位自守数是625和376，四位自守数是0625和9376，五位自守数是90625和09376......
我们可以看到，（n+1）位的自守数出自n位的自守数。由此得出，如果知道n位的自守数a，那么（n+1）位的自守数应当由a前面加上一个数构成。
实际上，简化一下，还能发现如下规律：
5+6=11
25+76=101
625+376=1001
......
所以，两个n位自守数，他们的和等于10^n+1
5. 一个数，将它各位上的数按照一定规则经过数次转换后，最后落在一个数上，再作转换，便不再产生新数了，任你按规则反复演变，它仍是“自己”，我们把这个数称作“自我生成数”。
如，任写一个数字不同的三位数，将组成这个数的三个数字重新组合，使它成为由这三个数字组成的最大数和最小数，而后求出新组成的两个数的差，再对求得的差重复上述过程，最后必然生成“495”。
以213为例，按上述规则，转变过程是：
321－123＝198；981－189＝792；
972－279＝693；963－369＝594；
954－459＝495；
954－459＝495。
对于四位数，也按上述规则操作会怎样呢？
以7642为例，转换过程是：
7642－2467＝5175；7551－1557＝5994；
9954－4599＝5355；5553－3555＝1998；
9981－1899＝8082；8820－0288＝8532；
8532－2358＝6174；
7641－1467＝6174。
四位数的自我生成数是6174。
6.将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果得到的新数都能被N整除,那么N称为魔术数.
7.若一个自然数各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这个自然数，把这样的自然数叫做“幸运数”，试求出所有“幸运数”的和。
8.
用以表征奇异粒子的量子数，叫奇异数，记为S。取一个奇异夸克的奇异数S＝+1；一个反奇异夸克的奇异数S＝-1；没有奇异夸克或奇异夸克的奇异数抵消为0的粒子的奇异数S=0。在强相互作用和电磁作用中，奇异数守衡，在弱相互作用中不守衡。
也有定义如下：
S＝2（Q-I3）-B，Q为电荷，I3为同位旋，B为重子数。
9. 地球围绕太阳旋转一周，便是一年。
一年是365天（平年），因此，数学家把365称为“地球数”。在自然数中，10、11、12三个数的平方和，恰是365！
10²＋11²＋12²＝100＋121＋144＝365。
有趣的是，13和14的平方和，也是365。
13²＋14²＝169＋196=365.
因此，数学家把下列算式称作“地球数算式”：
（10²＋11²＋12²＋13²＋14²）÷365＝2。
这种算式使数学家倍感兴趣：
10²＋11²＋12²＝13²＋14²。
瞧，组成算式的五个数，恰是10~14五个连续的自然数，等式左短三个数，右端两个数。这使人们想到“勾股弦数”：
3²＋4²＝5²。
这个式子是左两项、右一项，3、4、5也是连续数。
要是左四项、右三项呢？这几个连续数也被找到了：
21²＋22²＋23²＋24²＝25²＋26²＋27²。
项数更多一些呢？
36²＋37²＋38²＋39²＋40²＝41²＋42²＋43²＋44²。
原来，这些等式可以无止境地写下去。等式的右端是m项，则左端是(m+1)项，一连串自然数最中心的一个数，应该是2m(m+1)。找到了中心数，如上述各式中的4、12、24、40，其他各数便可依次写出来了。
10.逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。
11.堆数奇观数奇观
数字虽然非常普通，但又非常奇妙。我们的祖先已经与数字打了几千年的交道了，人们早就注意到并且在不断研究数字的一些有趣的性质，不少趣题一直流传至今。下面我们一起来进行这样一个游戏。
给你三个1，不用任何加减乘除运算符号，请写出可能的最大数和最小数。
这件事并不困难，我想不一会，大家一定可以写出111是最大数, 而111或者111是最小数，就是1．
奇妙的事情在下面。请你试一试三个2的情况，再试一试三个3的情况，进而去探索一般有什么规律。
很多同学一定首先想去类推，看222是不是最小数，检查发现不对了，222不但不是最小数，反而变成了最大数。最小数还是222=16．
那么对于三个3的情况，可不可以类推333=327还是最小数呢？一检查发现又错了。这时333才是最小数，而333是最大数。
这几个有趣的例子说明数字的奇妙，也告诉我们，在数学上不要轻易从几个特例就下结论，这容易造成错误或闹笑话。
那么对于从1到9这九个数，把任三个相同的数拿来堆放，不用任何四则运算符号，它们的最大数与最小数有什么规律呢？如果你再继续试下去，就会发现规律出来了。
对三个4的情况：最小数是444，最大数是个444．
对三个5的情况：最小数是555，最大数是555．
对6，7，8的情况全部相同，直到9：
对三个9的情况：最小数是999，最大数是999．
这个奇妙的事实当然不是靠把这些数每个都计算出来而知道的，因为999是一个大得不可思议的数。打一个比喻吧，把地球的质量与一只蚂蚁的质量相比所得的数值，比起它来还要小不知多少亿倍。
数学的伟大，不在于能广泛的计算，而在于它严密的论证。
如果我们设a是一位的自然数，那么三个a的不同堆放形式可以组成以下四个数字：
我们要做的事是比较这四个数的大小。
把两个式子相除
上面的推证分母放得过大，其实222也大于222．
4开始就有11a＜aa。至此我们完满地解决了所有的问题，也发现了全部的规律。
上面我们进行的整个游戏过程是这样的：实践—观察—思考规律—推证规律—指导实践。这就是学习数学，发现数学的一整套方法，我们的祖先就是沿这条崎岖又充满探险的道路走过来的。
说到这里，不少同学一定会提出对于四个以至更多个的相同数，它们的堆法又怎样呢？是否也有规律？
对四个相同的数，可能有的组合是8种：
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