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数学建模—评价模型—灰色关联度分析Vs灰色综合评价

作者：很楠不爱3 | 2024-03-20 03:41:00

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灰色关联度

前言：

黑色系统：只明确系统和环境的关系，内部未知

白色系统：内部结构、元素、组成、实现机理已知

灰色系统：部分明确系统与环境见关系、系统结构、实现过程。

灰色系统实例：（1）社会经济系统（企业收入、相关因素）

灰色关联度分析法

一、简介

灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统（或因素）之间的数值关系。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。

二、作用

关联度排序

三、计算步骤

（一）选择参考数列

选择需要判断关联度的各个变量中的一个作为参考数列

（二）数据无量纲化处理

（1）均值化处理

对各个序列进行均值化处理

公式： $f(x_{k}) = \frac{x_{k}}{\bar{x}} = y_{k}$ , 其中 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} x_{k}$

（2）初值化处理

（三）数据关联系数计算

定义 $\underset{i}{min} (\Delta _{i}(min)) = \underset{i}{min}( \underset{k}{min}|x_{0}(k) - x_{i}(k)|)$ ;

定义 $\underset{i}{max} (\Delta _{i}(max)) = \underset{i}{max}( \underset{k}{max}|x_{0}(k) - x_{i}(k)|)$

则关联系数计算公式为

$\xi_{i}(k) = \frac{\underset{i}{min}(\Delta_{i}(min)) + 0.5\underset{i}{max}(\Delta_{i}(max))}{|x_{0}(k) - x_{i}(k)|+0.5\underset{i}{max}(\Delta_{i}(max))}$

此式中0.5为分辨系数，取值在0-1之间选取，一般选择0.5；根据具体实事进行变化。

（四）数据关联度计算

计算关联度公式如下：

$\xi _{i} = \frac{1}{n}\sum_{k =1}^{n} \xi_{i}(k)$

具体数值计算内容见《灰色关联度计算.xlsx》

四、优缺点

优点：

灰色关联分析法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的遗憾。对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

缺点：

要利用该方法，这个系统必须是灰色系统。灰色系统中的灰的主要含义是信息不完全性（部分性）和非唯一性，其中的“非唯一性”是灰色系统的重要特征，非唯一性原理在决策上体现的是灰靶思想，即体现的是决策多目标，方法多途径，处理态度灵活机动。

灰色综合评价

一、简介

灰色综合评价法是针对复杂大系统进行效能评估是，信息不完备、不全面、不充分的情况下，所提出的一种评估方法，基于灰色关联度分析。

二、分类

单层次灰色综合评价

多层次灰色综合评价

三、单层次灰色综合评价及步骤

假设：

m个评价对象，每个评价对象有n个评价指标，第i个评价对象的第j个指标为

$y_{ij} = (i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n)$

(一)确定最优指标集

$y_{0j} = (i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n)$

最优指标值选取：

(1)确定的标准 /

(2)评估者公认的最优值 /

(3)简单采用 $y_{0j} = Optimum(y_{ij})(j = 1,2,3,...,n)$

方法（3）中规则如下：极大型指标：越大越好；极小型指标：越小越好；中间型指标：越靠近中值越好。

（二）构造原始矩阵

利用最优指标集和评价对象的指标构成原始矩阵

$y = \begin{bmatrix} y_{01} &y_{02} &... &y_{0n} \\ y_{11} &y_{12} &... &y_{1n} \\ ... &... &... & ...\\ y_{m1} &y_{m2} &... &y_{mn} \end{bmatrix}$

(三）数据无量纲化处理

①均值化处理

$x_{ij} = \frac{y_{ij}}{\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m} y_{ij}}$

②初值化处理

(四）确定评价矩阵

以最优指标集为参考序列，各评价对象的指标为比较序列，计算第i个评价对象与第j个最优指标的灰色关联系数。

（五）灰色关联系数计算

$r_{ij} = \frac{\underset{i}{min}(\Delta_{i}(min)) + 0.5\underset{i}{max}(\Delta_{i}(max))}{|x_{0j} - x_{ij}|+0.5\underset{i}{max}(\Delta_{i}(max))}$

计算方式见上述灰色关联度分析

（六）确定各评价指标的权重矩阵 $W_{j}$

根据各评价指标的重要程度为其赋予相应权重 $W_{j}$ (1×n的矩阵)

（注：此处权重矩阵需要题干给出或采用其他模型计算得出）

(七）计算灰色关联度矩阵

各评价对象与最优指标之间的关联系数 $r_{ij}$ 组成评价矩阵 R，计算灰色关联度矩阵A:

A = W × $R^{T}$

其中，各评价对象的灰色关联度

$a_{i} = \sum_{j = 1}^{n} w_{j} \times (r_{ij})^{T}$ （ i = 1 ，2，... ，n）

灰色关联度越大，说明其相应的评价对象越接近于最优指标，据此便可排除各评价对象的优劣顺序。

四、多层次灰色综合评价及步骤

当评价对象的指标体系由不止一个层次构成是，需采用多层次综合评价模型。

多层次综合评价在但层次综合评价基础上进行，评价方法与单层次评价模型相似。

比如，第二层次的灰色关联度矩阵组成第一层次的评价矩阵，计算出第一层次的灰色关联度矩阵，进而得出评价结果，依次类推。

五、优缺点

优点：

计算方法简单，综合能力较强，准确度较高，可以决定对象所属的设定类别。

缺点：

白化权函数较难确定。

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