齐次裁剪矩阵（投影矩阵）ProjectionMatrix参数分析以及NDC坐标原理解释

齐次裁剪矩阵（投影矩阵）ProjectionMatrix参数分析以及NDC坐标原理解释

在观察空间中，我们可以通过近平面（near plane）n，和远平面（far plane）f，垂直视场角 a 以及纵横比 r 这4个参数来表述一个以原点作为中心的视锥体。横纵比公式： r = width/height（宽除以高）;
出于理解，我们把高设置为2，那么宽必须满足 r = w/h = w/2 ；w = 2r；图1为垂直视场截面，图2为水平视场截面，d为原点距离近平面的距离，α为垂直视场角，根据图我们可以求得 ：

tan(α/2) = 1/d ，继而求得 d = 1/tan(α/2) 继而求得 d = cot(α/2);

再根据图2 （β 为水平视场角）求得

tan(β/2) = r/d 把上式求得的d 带入 继而求得tan(β/2) = r/cot(α/2) = r·tan(α/2)

所以，一旦给定垂直视场角α和纵横比r，我们必能求出水平视场角β
β = 2arctan(r*tan(α/2)) ;(看不懂这个公式没关系，这个只需要理解要推导出视角一定要用到α和r就行了)

图一

图二

那么我们拿到了点（x,y,z）之后如何得出在近平面得（x‘,y‘,d) 呢


通过相似三角形的性质我们可以发现：


同时可以看出如果点（x，y，z）位于近平面内，当且仅当：

NDC坐标（规格化坐标）：由于在计算过程中，要保证观察空间里的投影窗口的高为2，宽为2r，但是如果投影窗口的尺寸依赖于纵横比r的话便会产生一个问题：由于硬件会涉及到一些与投影窗口大小有关的操作（比如将投影窗口映射到后台缓冲区等），这表示我们还需要将r告诉硬件，所以如果能去除横纵比r的以来，那么处理过程会更简单，这就是ndc坐标的由来，对此，我们的解决办法是将x坐标上的投影区间从[-r,r] 缩放至区间为[-1,1]

-r≤x‘≤r
不等式除以r得：
-1≤x‘/r≤1

得此映射之后，x坐标和y得坐标成为了ndc坐标。此时，若点（x，y，z）位于近平面之中，得：

我们可以直接求出以ndc坐标来表示得x轴和y轴上得投影坐标：

注意，在ndc坐标中，投影得窗口得高和宽都是2，所以它的大小是固定的，硬件也就无需知道纵横比，但是我们一定要确保将投影坐标映射到ndc空间内。

投影矩阵
由于上图中得公式为非线性公式，我们一分为二，将线性和非线性拆分开处理，非线性部分要除以z的计算过程。我们还将对z坐标进行归一化处理；这意味着在执行非线性部分除以z的计算时，我们却无最初的z坐标可用。也就是说，我们一定要在此变换之前保存早先传入的初始z坐标。为了做到这一点，我们要利用齐次坐标将输入的z坐标复制到输出的w坐标。根据矩阵的乘法运算法则，需要令元素[2][3] = 1以及元素[2][3] = 0来加以实现（这里采用的是以0为基准的索引）。

可以看到，我们在矩阵中设置了常量A和常量B，利用他们即可把输入的z坐标变换到归一化范围。令任意点（x,y,z,1）与该矩阵相乘将会得到：

在顶点与投影矩阵相乘之后（即线性部分），我们还要通过将每个坐标分别除以w = z（即非线性部分来完成整个变换过程）
图4
归一化z深度

前面我们说到要用矩阵表示投影关系，得到了一个公式是由线性部分和非线性部分组成，我们把线性和非线性的部分提取出来，把线性部分放到m11和m22的位置，留下一个非线性的z保留进矩阵的剩余部分，为了实现深度缓冲算法，我们任然需要保留这些3D的深度信息，就像Direct3D希望把x、y坐标映射归一化范围一样，深度坐标需要归一化区间为[0,1]以内。我们设立一个g(z)来把z坐标从区间[n,f]映射到0、1之间。由于该函数具有保序性，即归一化处理之后，深度关系保持不变。
从图4的公式可以看出，z坐标经过一下变换的处理

现在，我们需要根据下列约束求出对应的A和B：

得：
把B带入条件，解得A

所以：

根据函数g得图像可以看出，他是严格递增得非线性函数

既然已经求得了A和B，我们就可以确定出完整得透视投影矩阵

在顶点乘以投影矩阵之后但还未进行透视剔除法之前，几何体会处于所谓的齐次裁剪空间（clip space）或投影空间中。待完成透视除法之后，便是用规格化设备坐标（NDC）来表示几何体了。