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数学基础task05 高等数学之中值定理_平均值定理可以取端点吗
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关于函数的定理
前提： f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 f(x)在[a,b]上连续 f(x)在[a,b]上连续
有界与最值定理
m ≤ f ( x ) ≤ M m\le f(x)\le M m≤f(x)≤M其中， m , M m,M m,M分别为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的最小值与最大值。
闭区间上的连续函数必要最大值和最小值。
介值定理
当 m ≤ μ ≤ M m\le \mu\le M m≤μ≤M时,存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in[a,b] ξ∈[a,b]，使得 f ( ξ ) = μ f(\xi)=\mu f(ξ)=μ。
闭区间上的连续函数可以取到最大值和最小值间的任意一个数。
平均值定理
当 a < x 1 < x 2 . . . . < x n < b a<x_1<x_2....<x_n<b a<x1<x2....<xn<b时，在 [ x 1 , x n ] [x_1,x_n] [x1,xn]内至少存在一点 ξ \xi ξ，使：
f ( ξ ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) . . . + f ( x n ) n f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)...+f(x_n)}{n} f(ξ)=nf(x1)+f(x2)...+f(xn)
证明：
f(x)在 [ x 1 , x 2 ] [x_1,x_2] [x1,x2]上连续,所以 m ≤ f ( x ) ≤ M m\le f(x)\le M m≤f(x)≤M
于是： m ≤ f ( x 1 ) ≤ M . . . . m ≤ f ( x n ) ≤ M m\le f(x_1)\le M....m\le f(x_n)\le M m≤f(x1)≤M....m≤f(xn)≤M
所以式子相加： n m ≤ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) . . . + f ( x n ) ≤ n M nm\le f(x_1)+f(x_2)...+f(x_n)\le nM nm≤f(x1)+f(x2)...+f(xn)≤nM
所以得出： m ≤ f ( x 1 ) + . . . . f ( x n ) n ≤ M m\le\frac{f(x_1)+....f(x_n)}{n}\le M m≤nf(x1)+....f(xn)≤M
由介值定理得出平均值定理
零点定理
当 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)\cdot f(b)<0 f(a)⋅f(b)<0时，存在 ξ ∈ ( a , b ) ， 使 得 f ( ξ ) = 0 \xi\in(a,b)，使得f(\xi)=0 ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0
关于导数和微分的中值定理
费马定理(必要条件)
设 f ( x ) f(x) f(x)满足在 x 0 x_0 x0处可导且取极值，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0
证明：
假设 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处取得极大值，则存在 x 0 x_0 x0的邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)，对任意的 x ∈ U ( x 0 ) x\in U(x_0) x∈U(x0)，都有 Δ f = f ( x ) − f ( x 0 ) ≤ 0 \Delta f=f(x)-f(x_0)\le0
