通俗易懂的泰勒展开微积分推导过程

作者：AllinToyou | 2024-04-08 23:43:38

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微积分推导过程

相信大家都会求导吧，给定一个f(x)，都可以唯一确定一个导函数f '(x)，导函数给出了原函数的变化情况。
比如 $f(x)=x^{3}$ 导函数为 $f^{'} (x)=3 x^{2}$
但是，倒过来就不行了，一个导函数 $f^{'} (x)=3 x^{2}$ 对应原函数为 $f(x)=x^{3}$ ， $f(x)=x^{3} +1$ ， $f(x)=x^{3} +2$ ………无穷多个。
写成积分形式就是
$\int_{}^{} 3x^{2}\cdot dx=x^{3} +C$
具体求导过程很多，自己看，为什么呢，因为在求导的过程中，我们虽然得到的函数今后的变化情况，但损失了一部分信息，就是原函数的初始值。概括一下，
原函数的信息=导函数的信息+初始值信息，
初始值信息没了，一个导函数就对应多个原函数了。

知道了原因，我们就可以去掉上面那个恼人的C了，加入初始值信息就好了。
$\int_{0}^{x} f'(x)\cdot dx+f(0)$
$=\int_{0}^{x} 3x^{2}\cdot dx+0^{3}$
$=x^{3} +C-0^3-C+0^3$
$=x^3=f(x)$
那个f（0）就是初始信息。当然初始信息可以从任意位置开始，不一定从0开始
这时候我们得到了
$f(x)=\int_{0}^{x} f'(x)\cdot dx+f(0)$ (原函数的信息=导函数的信息+初始值信息)
继续这个过程
$f'(x)=\int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx+f'(0)$
代入得
$f(x)=\int_{0}^{x} (\int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx+f'(0))\cdot dx+f(0)$
$=\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx\cdot dx+\int_{0}^{x} f'(0)\cdot dx+f(0)$
$=\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} f''(x)\cdot dx\cdot dx+\frac{x}{1!} f'(0)+f(0)$
再接着做下去
$=\int_{0}^{x}\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} f'''(x)\cdot dx\cdot dx\cdot dx+\frac{x^2}{2!} f''(0)+\frac{x}{1!} f'(0)+f(0)$
无限做下去，前面是余项，整个是泰勒展开式

泰勒公式

公式描述：

泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

在泰勒公式中，取x ₀=0，得到的级数

称为麦克劳林级数。函数

的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与

的麦克劳林级数一致。
也就是：泰勒公式： $f(x)=\frac{f(x)}{0!} +\frac{f(x)^{(1)}}{1!}x+\frac{f(x)^{(2)}}{2!}x^{2} +\frac{f(x)^{(3)}}{3!}x^{3}+\frac{f(x)^{(4)}}{4!}x^{4}+......\frac{f(x)^{(n)}}{n!}x^{n}$

常见的麦克劳林级数

下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。

指数函数：

自然对数：

几何级数：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数:

更多内容参考：https://www.zhihu.com/question/21149770

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