【线性代数】[第五章：特征值与特征向量][自用]

1 知识点

1.1特征值与特征向量

1.1.1 特征值与特征向量

（1）定义

1.1.2 特征方程和特征多项式

（1）

（2）n阶矩阵有n个特征值，里面可以重复，即有重根。

1.1.3 特征值和特征向量的性质

（1）特征值性质：

（2）特征向量性质：

1. 特征向量具有稳定性。
2. 如果两个向量都满足Ax=λx，但是俩个向量却是线性无关，那么这两个向量一定对应两个不同的特征值，但是这俩个特征值确实值相等的。

1.1.4 特征值和特征向量的求法

（1）特征值是求行列式、特征向量是解方程。也就是说特征向量就是通解。但是这里的特征向量是不能为0的，所以不同于之前的单纯的解方程，单纯的解方程是k为任意常数，但是求特征向量是要注明这里的ki不全为0。

1.1.5 幂零矩阵和幂等矩阵

（1）

1.2 相似矩阵及其对角化

1.2.1 定义与性质

（1）注意红色笔记部分。

1.2.2 矩阵相似的必要条件

（1）

1.2.3 相似对角化

（1）所以n阶矩阵可以对角化的 充要条件 就是该矩阵具有n个线性无关的特征向量。

 （2）前三行恒成立，第四行是有条件的，也就是（α1，α2，α3）可逆。而为什么这个东西可逆？因为特征向量，线性无关。