数据结构之算法的时间复杂度和空间复杂度

一、时间复杂度空间复杂度的计算

     1、什么是算法的时间复杂度和空间复杂度

     2、如何计算常见算法的时间复杂度和空间复杂度

     3、算法练习

1、什么是算法的时间复杂度和空间复杂度

算法效率：算法的效率分为时间效率和空间效率。时间效率也称为时间复杂度，空间效率也称为空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是算法的运行速度，空间复杂度主要亨利一个算法所需要的额外空间。

时间复杂度的概念：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它描述了一个算法运行所需要的时间。而算法所运行的时间是计算不出来的，算法运行的时间与基本操作运行的次数成正比。所以算法的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。使用大O渐进表示法。

空间复杂度的概念：空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度计算的不是程序占用多少字节的空间，而是计算变量的个数。使用大O渐进法表示。

 2、如何计算常见算法的时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度（大O渐进法）：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶存在且不是1，则除去与这个项目相乘的常数，得到大O阶。

      例：O(3n^2)~O(n^2)。

4、有些算法存在最好和最坏的情况，在实际中一般关注算法的最坏运行情况。

常见的算法时间复杂度：

O(n^2)  O(1)  O(logn)   O(n)

 

在计算时间复杂度时，并不需要计算准确的算法操作次数，只需要计算大概的操作次数，也就是在准确的次数上求极限。

空间复杂度（大O渐进法）：

空间复杂度是去计算变量的个数。栈帧，C语言中，每个栈帧对应着一个未运行完的函数。栈帧中保存了该函数的返回地址和局部变量。C语言在调用函数时会在相应栈区开辟相应栈帧空间，系统也会根据函数内变量决定栈帧大小。

3、算法练习计算时间复杂度

题1：计算算法的时间复杂度  在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。   

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

计算Func1基本操作执行了多少次？

此代码基本操作语句为++count

基本操作次数：F1(N)=N^2+2N+10

画图解析：

 时间复杂度：（大O渐进法）   O(N^2)  

题2：计算算法的时间复杂度  在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

                                              如果最高阶存在且不是1，则除去与这个项目相乘的常数，得到大O阶

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

计算Func2基本操作执行了多少次？

此代码基本操作语句为++count

基本操作次数：F2(N)=2N+10

画图解析：

 时间复杂度：O(N)

题3：计算算法的时间复杂度 

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}

计算Func3基本操作执行了多少次？

此代码基本操作语句为++count

基本操作次数：F3(N)=M+N

画图解析：

 这种情况下的时间复杂度：O(M+N)

                   假设给了条件：M远远大于N   O(M)            M和N差不多大  O(M)或O(N)

题4：计算算法的时间复杂度   用常数1取代运行时间中的所有加法常数

void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

 时间复杂度：O(1)

题5：计算算法的时间复杂度   有些算法存在最好和最坏的情况，在实际中一般关注算法的最坏运行情况。

const char * strchr ( const char * str, char character )
{
  while(*str != '\0')
 {
      if(*str == character)
          return str;
      
      ++str;
 }
  
  return NULL;
}

 时间复杂度：O(N)

3、算法练习计算空间复杂度

题1、计算算法的空间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

空间复杂度为O(1)

解释：进入循环后，int exchange =0;定义了一个整型，所以开辟的栈帧空间大小是4个字节，但是在空间复杂度中，我们计算的是变量的个数，所以时间复杂度为O(1)。

欢迎大家批评指正！下期文章将更新具体习题及解法。