TPS插值方法

Thin Plate Spline

插值函数求解

已知有N个点 { x 1 , x 2 , . . . , x n } \{x_1,x_2,...,x_n\} {x1​,x2​,...,xn​}，可以通过变换函数$y=f(x)$变换到 { y 1 , y 2 , . . . , y n } \{y_1,y_2,...,y_n\} {y1​,y2​,...,yn​}，此时，如果已知N个点$X$和$Y$，如何求解函数$y=f(x)$

TPS插值函数

给定的插值函数形式如下：
Φ ( X ) = c + a T X + w T s ( X ) s ( X ) = ( σ ( X − X 1 ) , σ ( X − X 2 ) , . . . , σ ( X − X N ) ) T σ ( X ) = ∣ ∣ X ∣ ∣ 2 2 log ⁡ ∣ ∣ X ∣ ∣ 2

$$\begin{array}{c} \Phi(X)=c+a^TX+w^Ts(X) \\ s(X)=(\sigma(X-X_1),\sigma(X-X_2),...,\sigma(X-X_N))^T \\ \sigma(X)=||X||^2_2\log||X||_2 \end{array}$$ Φ(X)=c+aTX+wTs(X)s(X)=(σ(X−X1​),σ(X−X2​),...,σ(X−XN​))Tσ(X)=∣∣X∣∣22​log∣∣X∣∣2​​

对于2维空间则有
Φ ( X ) = [ Φ 1 ( X ) Φ 2 ( X ) ] \Phi(X)= \left[

$$\begin{array}{c} \Phi_1(X) \\ \Phi_2(X) \end{array}$$ \right] Φ(X)=[Φ1​(X)Φ2​(X)​]
对于每一个维度，都需要求解一个插值函数。这里不具体讨论为什么给出这种形式的插值函数，仅考虑如何对方程参数进行求解

矩阵形式

2维空间中，TPS插值函数需要求解N+3个参数，其中$w\in R^{N\times 1}$，$a\in R^{2\times 1}$和$c\in R^{1\times 1}$。原方程$\Phi (X)$可以改写为矩阵形式如下：
[ S 1 N X ] [ w c a ] = [ Y x ] \left[

$$\begin{array}{c} S & 1_N & X \end{array}$$ \right] \left[ $$\begin{array}{c} w \\ c \\ a \end{array}$$ \right] = \left[ Y^x \right] [S​1N​​X​]⎣⎡​wca​⎦⎤​=[Yx]
扩展成齐次式如下把方程扩展成如下形式：
$$\left[\begin{array}{ccc}S& 1_N& X\\ 1_N^T& 0& 0\\ X^T& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}w\\ c\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}^x\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
可以令
$$\Gamma =\left[\begin{array}{ccc}S& 1_N& X\\ 1_N^T& 0& 0\\ X^T& 0& 0\end{array}\right]$$
则可以知道当$S$是非奇异矩阵时，$\Gamma$也是非奇异矩阵，于是可以通过矩阵的逆求解方程参数：
$$\left[\begin{array}{c}w\\ c\\ a\end{array}\right]={\Gamma }^{-1}\left[\begin{array}{c}{Y}^x\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
此时有
$$\Gamma \left[\begin{array}{c}w\\ c\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}Sw+c+Xa\\ 1^{T}w\\ X^{T}w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Y}^x\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
即还需要需要令
$$\sum _{k=1}^N{w}_k=0$$
$$\sum _{k=1}^N{x}_k^x{w}_k=0$$
$$\sum _{k=1}^N{x}_k^y{w}_k=0$$
对于2维空间，${\Phi }_1$和${\Phi }_2$可以通过一个线性方程来求解，如下所示：
$$\left[\begin{array}{cc}{w}^x& w^y\\ c^x& c^y\\ a^x& a^y\end{array}\right]={\Gamma }^{-1}\left[\begin{array}{cc}{Y}^x& Y^y\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

最后

可能会有错误，主要是想说明对于TPS插值为什么会要添加三个约束。欢迎指正！