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【尚硅谷】Java数据结构与算法笔记05 -递归_尚硅谷 递归
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一、应用场景
二、递归的概念
简单的说: 递归就是方法自己调用自己, 每次调用时传入不同的变量. 递归有助于编程者解决复杂的问题, 同时 可以让代码变得简洁。
我列举两个小案例, 来帮助大家理解递归, 部分学员已经学习过递归了, 这里在给大家回顾一下递归调用机制
- 打印问题
- 阶乘问题
- 使用图解方式说明了递归的调用机制
public class RecursionTest { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub //通过打印问题，回顾递归调用机制 test(4); //int res = factorial(3); //System.out.println("res=" + res); } //打印问题. public static void test(int n) { if (n > 2) { test(n - 1); } System.out.println("n=" + n); } //阶乘问题 public static int factorial(int n) { if (n == 1) { return 1; } else { return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3 } } }
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输出：
n=2
n=3
n=4
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三、递归能解决的问题
- 各种数学问题如: 8 皇后问题, 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题(google 编程大赛)
- 各种算法中也会使用到递归, 比如快排, 归并排序, 二分查找, 分治算法等.
- 将用械解决的问题 一> 递归代码比较简洁
四、递归需要遵守的重要规则
- 执行一个方法时, 就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
- 方法的局部变量是独立的, 不会相互影响, 比如 n \mathrm{n} n 变量
- 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组), 就会共享该引用类型的数据.
- 递归必须向退出递归的条件逼近, 否则就是无限递归, 出现 StackOverflowError, 死龟了:)
- 当一个方法执行完毕, 或者遇到 return, 就会返回, 達守谁调用, 就将结果返回给谁, 同时当方法执行完毕或 者返回时, 该方法也就执行完毕
五、递归-迷宫问题
public class MazeProblem { public static void main(String[] args) { // 先创建一个二维数组，模拟迷宫 // 地图 int[][] map = new int[8][7]; // 使用1 表示墙 // 上下全部置为1 for (int i = 0; i < 7; i++) { map[0][i] = 1; map[7][i] = 1; } // 左右全部置为1 for (int i = 0; i < 8; i++) { map[i][0] = 1; map[i][6] = 1; } //设置挡板, 1 表示 map[3][1] = 1; map[3][2] = 1; // map[1][2] = 1; // map[2][2] = 1; // 输出地图 System.out.println("地图的情况"); for (int i = 0; i < 8; i++) { for (int j = 0; j < 7; j++) { System.out.print(map[i][j] + " "); } System.out.println(); } //使用递归回溯给小球找路 //setWay(map, 1, 1); setWay2(map, 1, 1); //输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归 System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况"); for (int i = 0; i < 8; i++) { for (int j = 0; j < 7; j++) { System.out.print(map[i][j] + " "); } System.out.println(); } } //使用递归回溯来给小球找路 //说明 //1. map 表示地图 //2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1) //3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到. //4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通 //5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯 /** * @param map 表示地图 * @param i 从哪个位置开始找 * @param j * @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false */ public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) { if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok return true; } else { if (map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过 //按照策略 下->右->上->左 走 map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通. if (setWay(map, i + 1, j)) {//向下走 return true; } else if (setWay(map, i, j + 1)) { //向右走 return true; } else if (setWay(map, i - 1, j)) { //向上 return true; } else if (setWay(map, i, j - 1)) { // 向左走 return true; } else { //说明该点是走不通，是死路 map[i][j] = 3; return false; } } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3 return false; } } } //修改找路的策略，改成 上->右->下->左 public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) { if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到ok return true; } else { if (map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过 //按照策略 上->右->下->左 map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通. if (setWay2(map, i - 1, j)) {//向上走 return true; } else if (setWay2(map, i, j + 1)) { //向右走 return true; } else if (setWay2(map, i + 1, j)) { //向下 return true; } else if (setWay2(map, i, j - 1)) { // 向左走 return true; } else { //说明该点是走不通，是死路 map[i][j] = 3; return false; } } else { // 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3 return false; } } } }
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地图的情况 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 小球走过，并标识过的 地图的情况 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1
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六、递归-八皇后问题（回溯算法）
6.1 问题介绍
八皇后问题, 是一个古老而著名的问题, 是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯 1848 年提出: 在 8 × 8 8 \times 8 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后, 使其不能互相攻击, 即: 任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上, 问有多少种摆法(92)。
6.2 思路分析
1）第一个皇后先放第一行第一列
2) 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否
O
K
\mathrm{OK}
OK, 如果不
O
K
\mathrm{OK}
OK, 继续放在第二列、第三列、依次把所有列都 放完, 找到一个合适
3）继续第三个皇后, 还是第一列、第二列”…直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置, 算是找到了一个正确 解
4）当得到一个正确解时, 在栈回退到上一个栈时, 就会开始回溯, 即将第一个皇后, 放到第一列的所有正确解, 全部得到.
5）然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行
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1,2,3,4
1,2,3,4 的步骤
6) 示意图:
说明
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘, 但是实际上可以通过算法, 用一个一维数组即可解决问题. arr [ 8 ] = [8]= [8]= { 0 , 4 , 7 , 5 , 2 , 6 , 1 , 3 } / / \{0,4,7,5,2,6,1,3\} / / {0,4,7,5,2,6,1,3}// 对应 arr 下标 表示第几行, 即第几个皇后, arr [ i ] = val \operatorname{arr}[i]=\operatorname{val} arr[i]=val, val 表示第 i + 1 \mathrm{i}+1 i+1 个皇后, 放在第 i + 1 \mathrm{i}+1 i+1 行的第 v a l + 1 \mathrm{val}+1 val+1 列
5.3 Java代码实现
public class EightQueensProblem { public static void main(String[] args) { //测试一把 ， 8皇后是否正确 EightQueensProblem eightQueensProblem = new EightQueensProblem(); eightQueensProblem.check(0); System.out.printf("一共有%d解法\n", count); System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次\n", judgeCount); // 1.5w } //定义一个max表示共有多少个皇后 int max = 8; //定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} int[] array = new int[max]; static int count = 0; static int judgeCount = 0; //编写一个方法，放置第n个皇后 //特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯 private void check(int n) { if (n == max) { //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好 print(); return; } //依次放入皇后，并判断是否冲突 for (int i = 0; i < max; i++) { //先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列 array[n] = i; //判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突 if (judge(n)) { // 不冲突 //接着放n+1个皇后,即开始递归 check(n + 1); // } //如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置 } } //查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突 /** * @param n 表示第n个皇后 * @return */ private boolean judge(int n) { judgeCount++; for (int i = 0; i < n; i++) { // 说明 //1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列 //2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线 // n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1 // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1 //3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增 if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) { return false; } } return true; } //写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出 private void print() { count++; System.out.print("第" + count + "种解法:\t"); for (int j : array) { System.out.print(j + " "); } System.out.println(); } }
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输出：
第1种解法: 0 4 7 5 2 6 1 3 第2种解法: 0 5 7 2 6 3 1 4 第3种解法: 0 6 3 5 7 1 4 2 第4种解法: 0 6 4 7 1 3 5 2 第5种解法: 1 3 5 7 2 0 6 4 第6种解法: 1 4 6 0 2 7 5 3 第7种解法: 1 4 6 3 0 7 5 2 第8种解法: 1 5 0 6 3 7 2 4 第9种解法: 1 5 7 2 0 3 6 4 第10种解法: 1 6 2 5 7 4 0 3 第11种解法: 1 6 4 7 0 3 5 2 第12种解法: 1 7 5 0 2 4 6 3 第13种解法: 2 0 6 4 7 1 3 5 第14种解法: 2 4 1 7 0 6 3 5 第15种解法: 2 4 1 7 5 3 6 0 第16种解法: 2 4 6 0 3 1 7 5 第17种解法: 2 4 7 3 0 6 1 5 第18种解法: 2 5 1 4 7 0 6 3 第19种解法: 2 5 1 6 0 3 7 4 第20种解法: 2 5 1 6 4 0 7 3 第21种解法: 2 5 3 0 7 4 6 1 第22种解法: 2 5 3 1 7 4 6 0 第23种解法: 2 5 7 0 3 6 4 1 第24种解法: 2 5 7 0 4 6 1 3 第25种解法: 2 5 7 1 3 0 6 4 第26种解法: 2 6 1 7 4 0 3 5 第27种解法: 2 6 1 7 5 3 0 4 第28种解法: 2 7 3 6 0 5 1 4 第29种解法: 3 0 4 7 1 6 2 5 第30种解法: 3 0 4 7 5 2 6 1 第31种解法: 3 1 4 7 5 0 2 6 第32种解法: 3 1 6 2 5 7 0 4 第33种解法: 3 1 6 2 5 7 4 0 第34种解法: 3 1 6 4 0 7 5 2 第35种解法: 3 1 7 4 6 0 2 5 第36种解法: 3 1 7 5 0 2 4 6 第37种解法: 3 5 0 4 1 7 2 6 第38种解法: 3 5 7 1 6 0 2 4 第39种解法: 3 5 7 2 0 6 4 1 第40种解法: 3 6 0 7 4 1 5 2 第41种解法: 3 6 2 7 1 4 0 5 第42种解法: 3 6 4 1 5 0 2 7 第43种解法: 3 6 4 2 0 5 7 1 第44种解法: 3 7 0 2 5 1 6 4 第45种解法: 3 7 0 4 6 1 5 2 第46种解法: 3 7 4 2 0 6 1 5 第47种解法: 4 0 3 5 7 1 6 2 第48种解法: 4 0 7 3 1 6 2 5 第49种解法: 4 0 7 5 2 6 1 3 第50种解法: 4 1 3 5 7 2 0 6 第51种解法: 4 1 3 6 2 7 5 0 第52种解法: 4 1 5 0 6 3 7 2 第53种解法: 4 1 7 0 3 6 2 5 第54种解法: 4 2 0 5 7 1 3 6 第55种解法: 4 2 0 6 1 7 5 3 第56种解法: 4 2 7 3 6 0 5 1 第57种解法: 4 6 0 2 7 5 3 1 第58种解法: 4 6 0 3 1 7 5 2 第59种解法: 4 6 1 3 7 0 2 5 第60种解法: 4 6 1 5 2 0 3 7 第61种解法: 4 6 1 5 2 0 7 3 第62种解法: 4 6 3 0 2 7 5 1 第63种解法: 4 7 3 0 2 5 1 6 第64种解法: 4 7 3 0 6 1 5 2 第65种解法: 5 0 4 1 7 2 6 3 第66种解法: 5 1 6 0 2 4 7 3 第67种解法: 5 1 6 0 3 7 4 2 第68种解法: 5 2 0 6 4 7 1 3 第69种解法: 5 2 0 7 3 1 6 4 第70种解法: 5 2 0 7 4 1 3 6 第71种解法: 5 2 4 6 0 3 1 7 第72种解法: 5 2 4 7 0 3 1 6 第73种解法: 5 2 6 1 3 7 0 4 第74种解法: 5 2 6 1 7 4 0 3 第75种解法: 5 2 6 3 0 7 1 4 第76种解法: 5 3 0 4 7 1 6 2 第77种解法: 5 3 1 7 4 6 0 2 第78种解法: 5 3 6 0 2 4 1 7 第79种解法: 5 3 6 0 7 1 4 2 第80种解法: 5 7 1 3 0 6 4 2 第81种解法: 6 0 2 7 5 3 1 4 第82种解法: 6 1 3 0 7 4 2 5 第83种解法: 6 1 5 2 0 3 7 4 第84种解法: 6 2 0 5 7 4 1 3 第85种解法: 6 2 7 1 4 0 5 3 第86种解法: 6 3 1 4 7 0 2 5 第87种解法: 6 3 1 7 5 0 2 4 第88种解法: 6 4 2 0 5 7 1 3 第89种解法: 7 1 3 0 6 4 2 5 第90种解法: 7 1 4 2 0 6 3 5 第91种解法: 7 2 0 5 1 4 6 3 第92种解法: 7 3 0 2 5 1 6 4 一共有92解法 一共判断冲突的次数15720次
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