【12月学习进度7/31——计算机图形学期末准备04】B样条曲线及其基函数的定义_写出样条参数多项式曲线的数学表达形式,并说明什么是基函数。

参考讲解视频

B样条曲线产生背景

1. Bezier曲线的不足：

• 给定 $n+1$ 个控制点，则曲线的阶数 $n$ 确定
  顶点数很多时，多项式阶数大，导数阶数大，曲线有很多极值点（导数为0的点），曲线产生振荡现象。
• 使用低阶的Bezier曲线拼接较复杂（需要满足一定的连续性）
• Bezier曲线不能做局部修改

“牵一发而动全身”：修改单个控制点，会改变整条曲线的形状
【原因分析】
$Bernstein$多项式 $B_j^n(t)$ 对称，并且满足在 $t\in (0,1)$ 时均不为0
（函数值不为0的区间通常叫做该函数的支撑区间）
对称性如下图所示：

Bezier曲线：

$b_n(t)={\sum }_j^n{b}_j\ast B_j^n(t)$

相当于$Bernstein$多项式对控制点 $b_j$ 的加权和
由于 $B_j^n(t)\ne 0$ (在整个区间 $[0,1]$ 上有支撑），所以每个控制点的改变都会影响整条Bezier曲线

2.B样条曲线的引入

图中7个混合函数 $N_{i,2}$ $(i=0,1,2...6)$
每个混合函数的支撑区间只是 $[0,1]$ 的一部分，例：

• $N_{1,2}$ 的支撑区间是 $[0,0.5]$
• $N_{2,2}$ 的支撑区间是 $[0,0.5]$
• $N_{4,2}$的支撑区间是 $[0.5,1]$

B样条曲线提出：保留全部Bezier曲线优点的同时，克服了其缺点
（样条spline：分段连续多项式！）

整条曲线用一个完整的表达形式（但内在的量是低阶一段一段的）

【Example：三次样条】
现有 $n+1$ 个点，每两个点之间构造一个多项式，则有 $n$ 个小区间

• 每个小区间构造一个三次多项式
• n段三次多项式拼接在一起
• 段与段之间要两次连续

1. 采用Bezier曲线：5个点，则构造出4次多项式
2. 采用三次样条：5个点，四段三次多项式，段间两次连续

3. B样条定义 vs Bezier曲线定义

B样条曲线数学表达式：

$P(u)={\sum }_{j=0}^n{P}_i\ast B_{i,k}(u)$
$(u\in [u_{k-1},u_{n+1}])$

Bezier曲线数学表达式：

$P(u)={\sum }_{j=0}^n{P}_i\ast B_{i,n}(u)$
$(u\in [0,1])$

不同之处：

（1）B样条基函数与控制点个数 $n+1$（或阶数$n$）无关

• $B_{i,k}(u)$ ：$k$ 阶（$k-1$ 次）B样条基函数 $k\in [2,n+1]$

（2）两者参数$u$的取值范围不同：

• $u\in [u_{k-1},u_{n+1}]$
  

4. B样条基函数定义 —— de Boor-Cox递推定义

【idea】
构造一种递推公式，由0次构造1次，1次构造2次，2次构造3次…最终构造出k阶（k-1次）的B样条基函数

并且约定 $0/0=0$
k阶的B样条基函数由两个k-1阶的B样条基函数线性组合而成

要确定第 $i$ 个 $k$ 阶B样条 $B_{i,k}(u)$ ：
要用到 $u_i,u_{i+1},...,u_{i+k}$ 共 $k+1$ 个节点
↓
$[u_i,u_{i+k}]$ 称为 $B_{i,k}(u)$ 的支撑区间

【推导举例】
1阶0次B样条：

2阶1次B样条：

3阶2次B样条：

【问题Question】

No.1：对 $n+1$ 个顶点，$k$ 阶B样条曲线需要多少个节点向量 $u_i$ 与之匹配？

• $B_{i,1}$ 1阶0次基函数：涉及1个区间 $[u_i,u_{i+1}]$，2个节点
• $B_{i,2}$（由$B_{i,1},B_{i+1,1}$组成）：2个区间$[u_i,u_{i+1}],[u_{i+1},u_{i+2}]$，3个节点
• $B_{i,3}$（由$B_{i,2},B_{i+1,2}$组成）：3个区间，4个节点
• $B_{i,k}$（由$B_{i,2},B_{i+1,2}$组成）：k个区间，k+1个节点

当 $i=n$ 时，第n段多项式，需要n+k+1个节点向量与之匹配

节点向量个数 $n+k+1$ = 阶数 $k$ + 顶点数 $n+1$

No.2 ：每个 $p_i$ 都有一个 $B_{i,k}(u)$ 与之匹配，曲线的次数是 $k-1$ 次，这条曲线的定义区间是什么？（Bezier曲线的定义区间是 $[0,1]$）

函数定义区间合法 → 所有与顶点配对的基函数在该区间内都有定义（都覆盖）

• $u_{k-1}$ 是第一个基函数 $B_{0,k}$ 的结束节点前一个节点
• $u_{n+1}$ 是最后一个基函数 $B_{n,k}$ 的开始节点后一个节点

5. 总结