算法设计之贪心法_贪心算法 生产调度 完成总时间 负载平衡 评价函数

问题建模与描述：

  我们先来看一个简单的例子：调度问题，有n项任务，每项任务的加工时间已知，从0时刻开始陆续安排到一台机器上加工，每个任务的完成时间是从0时刻到任务加工截止的时间。求：总完成时间（所有任务完成时间之和）最短的安排方案。

实例：任务集S={1,2,3,4,5},加工时间t1=3,t2=8,t3=5,t4=10,t5=15

算法：按加工时间将上述任务从小到大排序，

  解：1->3->2->4->5

总完成时间=3+(3+5)+ (3+5+8) + (3+5+8+10)+ + (3+5+8+10+15)=94

问题建模：

输入：任务集: S={1,2,...,n },第j项任务加工时间:tj∈Z,j=1,2,...,n;

输出：调度I,S的排列i1，i2 ,...in

目标函数：I的完成时间，t（I）=k=1nn-k+1*Tik

解t（I），使得其值最小，且其对应的最小排列即为应求解。

贪心算法：

设计策略：加工时间短的先做

算法：根据加工事件从小到大排序，依次加工

算法正确性：对所有输入实例都得到最优解

证：

关于贪心法的经典算法：

1. 单元最短路径算法：

 单源最短路径是指：给定源顶点s∈Vs∈V到分别到其他顶点v∈V−{s}v∈V−{s}的最短路径的问题。 

Dijkstra算法采用贪心策略：按路径长度递增的顺序，逐个产生各顶点的最短路径。算法过程中需要维护一个顶点集S,此顶点集保存已经找到最短路径的顶点。还需要维护一个距离数组dist, dist[i]表示第i个顶点与源结点s的距离长度。

Java程序代码：

package Greedy;

import java.util.Scanner;

public class Dijkstra{

/**

 * 单元最短路径算法

 * 缺陷:算法中将10000视为无穷大

 */

   private double[] D;

   private double[] S;

   private double a[][];

  

   public void setA(double[][] a) {

      this.a = a;

   }

  

   //获得最短路径

   public double[] getShortestPath(int begin){  //邻接矩阵作为参数传递

      S=new double[a[0].length];  //存储最终结果

      D=a[begin];  //初始化观测域D

     

      int time=0,index=0;

     

      while(time<S.length){

          index=getMin(D);

          S[index]=D[index];  //获得观测域中的最端路径 并将最短路径压入S

          D[index]=10001;  //将已经决定的路径设置为10001

          time++;

          renew(index);//更新观测域D

      }

      return S;

   }

  

   public void renew(int j){  //根据压入的点更新数组D

     

      for(int i=0;i<D.length;i++){

          if(D[i]==10001){

             continue;

          }

         if(S[j]+a[j][i]<D[i]){

             D[i]=S[j]+a[j][i];

          }

      }

   }

  

   public int getMin(double[] D){

      int index=0;

      double min=D[0];

      for(int i=1;i<D.length;i++){

          if(min>D[i]&&min>=0&&D[i]>=0){

             min=D[i];

             index=i;  //获得最小值的数组下标

          }

      }

      return index;

   }

  

   public static void main(String[] args) {

      Scanner scanner=new Scanner(System.in);

      System.out.println("请输入邻接矩阵的长度: ");

      int len=scanner.nextInt();

      double a[][]=new double[len][len];

     

      for(int i=0;i<len*len;i++){

          a[i/len][i%len]=scanner.nextDouble();

      }

      Dijkstra dijkstra=new Dijkstra();

      dijkstra.setA(a);

      double answer[]=dijkstra.getShortestPath(0);

     

      for (double d : answer) {

          System.out.println(d);

      }

   }

}

 

 

输入：邻接矩阵的大小及数值，例如：

6

0 50 10 10000 45 10000

10000 0 15 10000 10 10000

20 10000 0 15 10000 10000

10000 20 10000 0 35 3

10000 10000 10000 30 0 10000

10000 10000 10000 10000 10000 0

输出：

0.0

45.0

10.0

25.0

45.0

28.0（该结果为从顶点1到其他点的最短路径）

 

在上述算法中，通过使用贪局部最优（每一个都求观测域与其补集的最小路径），将整个问题模型分割成小的问题模块，当一步一步的局部最优汇总之后，我们就求得了整体上的最优解。但这种情况不是任何时候都能适应，他实现的前提是求解过程可以转换成多步判断过程。

 

1. Prim算法

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。算法描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

Java程序代码：

package Greedy;

import java.util.ArrayList;

import java.util.HashSet;

/**

 *

 *@describe:普利姆算法(最小耗费生成树)

 * @author 曾鹏

 *2018年9月16日下午8:30:13

 */

public class Prim {

       private Graph graph;

       private int min;  //用于存储new_V与other_V形成的边的最小值

       private int[][] ad_matrix;

       private HashSet<Integer> new_V=new HashSet<>(); // HashSet用于存储不同的元素

       private ArrayList<Integer> other_V=new ArrayList<>(); // HashSet用于存储不同的元素

      

       public static final int N=65535;

      

       public void setGraph(Graph graph) {

              this.graph = graph;

       }

       public void getMintree(){

              min=graph.getAd_matrix()[0][0];

              ad_matrix=graph.getAd_matrix();

              int len=ad_matrix[0].length;

              //对other_V的初始化

              for(int i=0;i<len;i++){

                     other_V.add(i);

              }

              int line=0,columm=0;

              int length=0;

//          System.out.println(getMin());

              while(new_V.size()<graph.getVertix().length){

                     length=getMin();

                     line=length/len;

                     columm=length%len;

                  System.out.println(graph.getVertix()[line]+"――"+graph.getVertix()[columm]+":"+min);

                     new_V.add(line);  //添加至new_V集合

                     new_V.add(columm);  //添加至new_V集合

                     ad_matrix[line][columm]=N;

                     ad_matrix[columm][line]=N;

                     min=N;

                     other_V.set(line, -1);

                     other_V.set(columm, -1);

              }

       }

       public int getMin(){  //用于更新最小值min

              int index=0;

              int len=ad_matrix[0].length;

              if(new_V.isEmpty()){

                     for (int i = 0; i < graph.getAd_matrix()[0].length*graph.getAd_matrix().length; i++) {

                            if(min>ad_matrix[i/len][i%len]){

                                   min=ad_matrix[i/len][i%len];

                                   index=i;

                            }

                     }

                     return index;

              }

              for (Integer j : new_V) {

                     for(Integer i : other_V){

                            if(i>0&&min>ad_matrix[j][i]){

                                   min=ad_matrix[j][i];

                                   index=j*ad_matrix[0].length+i;

                            }

                     }

              }

              return index;

             

       }

       public static void main(String[] args){

              char[] vertex=new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'}; //顶点数组

              int[][] ad_matrix=new int[7][];          //邻接矩阵

             

              ad_matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};

              ad_matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};

              ad_matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};

              ad_matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};

              ad_matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};

              ad_matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};

              ad_matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};

              Prim prim=new Prim();

              Graph g=new Graph(vertex, ad_matrix);

              prim.setGraph(g);  //创建图

              prim.getMintree();

 

       }

      

}

//内部类

class Graph{

       private char[] vertix;  //顶点数组

       private int[][] ad_matrix; //临邻接组

       private char[][] min_tree;  //用于存储最小耗费生成树  双亲表示法:在子节点对应的空间存储父节点坐标

      

       public void setMin_tree(char[][] min_tree) {

              this.min_tree = min_tree;

       }

       public char[] getVertix() {

              return vertix;

       }

       public void setVertix(char[] vertix) {

              this.vertix = vertix;

       }

       public int[][] getAd_matrix() {

              return ad_matrix;

       }

       public void setAd_matrix(int[][] ad_matrix) {

              this.ad_matrix = ad_matrix;

       }

       public Graph(char[] v,int[][] a) {

              vertix=v;

              ad_matrix=a;

              min_tree=new char[vertix.length][2];  //一列存储字符 一列存储父节点下标

       }

}

输入：程序内部设置的邻接矩阵

输出：

A――G:2

G――B:3

G――E:4

E――F:5

F――D:4

A――C:7

Prim算法其实也是通过局部最优最后求出整体最优的一个过程，Prim算法每次添加一个点到new_V中，都是在更新一次数据，每次都在更新后的数据中获取最小的路径，再更新，再获取，递归原列表为空时结束递归，并在这个过程中求出最优解，同上述的Dijkstra算法一样，这个算法实现的前提是通过一步一步的局部最优便可获得整体最优。

贪心法对于求解最优化问题十分有效，但是，有时候，局部的最优并不一定能到导致全局的最优，我们可以来看看下面的例子：

有4个物品要装入背包，物品重量和价值如下：

背包的重量限制为6，问如何选择物品，使得在不超重的情况下装入背包的物品价值达到最大？

对于这类问题，按照以往的贪心法来做的话，我们先根据物品的单位重量价值进行从大到小排序：7/3>9/4>/5>2/2,即：1,2,3,4.

通过贪心法的求得解{1,4}，重量为5,价值为9

更优的解：{2,4}，重量为6，价值为11.

上述的例子说明了贪心法并不是适合所有的情况，在某些情况下就失效了，但是，贪心法即使得不到最优解，它仍旧可以获得最优解的近似结果，所以可以通过最优解进行第一轮处理，再通过更细致的方法处理之后的数据，来提高算法的效率。