数学建模——建立数学模型（2）

目录

数学建模的特点和分类

一、数学模型的特点

1.模型的逼真性和可行性，

2.模型的渐进性

3.模型的强健性

4.模型的可转移性

5.模型的非预制性

6.模型的条理性

7.模型的技艺性

8.模型的局限性

二、数学模型可以按照不同的方式分类,

1.按照模型的应用领域(或所属学科)分,

2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分.

3.按照模型的表现特性又有几种分法:

4.按照建模目的分

5.按照对模型结构的了解程度分

三、建模示例之二 商人们怎样安全过河

1.问题描述

2.建模过程

3.模型构成

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数学建模的特点和分类

一、数学模型的特点

1.模型的逼真性和可行性，

如果总是模型逼近研究对象,会导致模型在数学上难以处理,因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的,即实用上不可行.

另一方面越逼真的模型越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高,而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配.所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性,“费用”与“效益”之间作出折中和抉择.

2.模型的渐进性

稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功,要经过上一节描述的建模过程的反复迭代,包括由简到繁,也包括删繁就简,以获得越来越满意的模型,

3.模型的强健性

当模型假设改变时,可以导出模型结构的相应变化;

当观测数据有微小改变时,模型参数也只有相应的微小变化.

4.模型的可转移性

模型是现实对象抽象化、理想化的产物,它不为对象的所属领域所独有,可以转移到另外的领域,

5.模型的非预制性

不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用.模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题.在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生.

6.模型的条理性

从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深人、更具条理性,这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度,对问题的研究也是有利的.

7.模型的技艺性

建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划问题解法等是根本不同的,无法归纳出若千条普遍适用的建模准则和技巧.

8.模型的局限性

第一,由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性,但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物,所以一旦将模型的结论应用于实际问题,就回到了现实世界,那些被忽视、简化的因素必须考虑,于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的,

第二,由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制,还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型.

第三,还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段,

二、数学模型可以按照不同的方式分类,

1.按照模型的应用领域(或所属学科)分,

如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等.范畴更大一些则形成许多边缘学科,如生物数学、医学数学、地质数学、数盘经济学、数学社会学等.

2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分.

如初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等.

3.按照模型的表现特性又有几种分法:

确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响

静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化.

线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的.

离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的.

4.按照建模目的分

有描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.

5.按照对模型结构的了解程度分

有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙,

白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深人研究的主要是优化设计和控制等问题了,

灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做.

黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理

三、建模示例之二 商人们怎样安全过河

1.问题描述

三名商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行.随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中.商人们怎样才能安全渡河呢?

2.建模过程

由于这个虚拟的问题已经理想化了,所以不必再作假设.

安全渡河问题可以视为一个多步决策过程.

每一步,即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸,都要对船上的人员作出决策,

在保证安全的前提下(两岸的随从数都不比商人数多),

在有限步内使全部人员过河.

用状态(变量)表示某一岸的人员状况,

决策(变量)表示船上的人员状况,

状态随决策变化的规律问题——>在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件),确定每一步的决策达到渡河的目标.

3.模型构成

记第k次渡河前此岸的商人数为,随从数为,（k=1,2…，,=0,1,2,3.）

将二维向量s=(,)定义为状态.安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合,记作S.

                        S={ (x,y) | x=0, y=0,1,2,3;  x=3,y=0,1,2,3; x=y=1,2 }                        (1 )

不难验证,S对此岸和彼岸都是安全的.

记第k次渡船上的商人数为,随从数为

将二维向量=(,)定义为决策.允许决策集合记作D,

由小船的容量可知

D={ (u,v) l 1≤u+v≤2,u,v=0,1,2}                                         (2)   

因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸,k为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以状态s随决策d变化的规律是

=+                                                (3)   

(3)式称状态转移律.这样,制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型:求决策

D(k=1,2,…,n),使状态∈S按照转移律(3),由初始状态=(3,3)经有限步n到达状态=(0,0).模型求解 根据(1)~(3)式编一段程序,用计算机求解上述多步决策问题是可行的.