数论 积性函数_积性函数f(1)=1为什么

概念

积性函数：f(1) = 1，且对于所有互质的整数 a、b ，有性质$f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数。

完全积性函数：f(1) = 1，且对于任意整数 a 和 b 有性质 $f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数。

数论函数：指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。
以正整数为定义域的函数ƒ(n)，例如数列{α_n}、阶乘 n! 、幂n^λ等都是数论函数。

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性质
积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。
也就是说，若将n表示成质因数分解式如$p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots \dots p_k^{a_k}$,那么$f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\dots \dots f(p_k^{a_k})$
若f为积性函数且 $f(p^n)=f(p{)}^n$则 f() 为完全积性函数。

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常见的积性函数
φ(n) －欧拉函数
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的

wiki上的截图

参考来源

博客
https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/9446555.html
博客
https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/9446555.html
百度百科–积性函数
https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B0
百度百科–数论函数
https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E8%AE%BA%E5%87%BD%E6%95%B0/8555075