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惯性导航之Runge-Kunta法更新四元数(六)_陀螺仪四元数更新方程

陀螺仪四元数更新方程

从陀螺仪得到x、y、z三个角速度后就需要通过积分来得到角度,事实上,经过简单的积分是得不到正确的角度的,更得不到欧拉角,在这里说一下通过的Runge-Kunta更新四元数,从而对角速度积分得到角度的过程。

四元数能到快速的发展,得益于飞行器控制与导航的发展,要求更合理的描述刚体空间的运动,以便于计算机的计算。

在采用方向余弦描述飞行器运动时,要积分矩阵微分方程:
这里写图片描述
C为载体坐标到世界坐标系的方向余弦矩阵,Ω为载体坐标系相对于世界坐标系旋转角速度ω的反对称矩阵。进行计算时将包含9个一阶微分方程,计算量很大。


一、四元数求解的微分方程

在使用四元数进行求解时,需要求解四元数方程:
这里写图片描述
其中,q为描述载体坐标系转动的四元数,ω为载体坐标系相对世界坐标系转动的角速度,同样的可以表示为四元数:

ω=0+ωx·i+ωy·j+ωz·k

按四元数乘积展开:

  • q0=12(q1·ωxq2·ωyq3·ωz)
  • q1=12(q0·ωx+q2·ωzq3·ωy)
  • q2=12(q0·ωyq1·ωz+q3·ωx)
  • q3=12(q0·ωz+q1·ωyq2·ωx)

    只需要解四个一阶微分方程。

二、Runge-Kunta法更新四元数

了解过微分方程的应该知道,只有一小部分的微分方程是可以求出通解的,剩下的大部分都需要其他的一些方法来了解性质或者求数值解等等。

Runge-Kunta法就是一种常微分方程的数值解法,可以求得常微分方程的近似数值解,可以参考《数值分析》之类的数学书籍深入了解。

这里先给出四阶标准R-K公式:

  • yn+1=yn+h6(K1+2K2+2K3+K4)
  • K1=f(xn,yn)
  • K2=f(xn+12h,yn+12hK1)
  • K3=f(xn+12h,yn+12hK2)
  • K4=f(xn+h,yn+hK3)
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