常见排序算法的最好、最坏、平均时间复杂度以及空间复杂度_选择排序的最好最坏时间复杂度

思考

• 为什么插入排序比冒泡排序更受欢迎？
• 如何用快排思想在O(n)内查找第K大元素？
• 如何根据年龄给100万用户数据排序？（线性排序）
• 如何实现一个通用的、高性能的排序函数？（排序优化）

前言

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如何分析一个排序算法？

排序算法的执行效率

• 1、最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度
• 2、时间复杂度的系数、常数 、低阶
  • 时间复杂度反映数据规模 n 很大时的一个增长趋势，常忽略系数、常数、低阶
  • 实际软件开发中，数据规模可能比较小，比较同一阶时间复杂度的排序算法时，不能忽略系数、常数、低阶
• 3、比较次数和交换（或移动）次数
  • 基于比较的算法会涉及两种操作：元素比较大小、元素交换或移动
  • 分析排序算法执行效率时，应该要考虑比较次数（或移动）次数

排序算法的内存消耗

• 原地排序（Sorted in place）：特指空间复杂度为 O(1) 的排序算法
• 算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量

排序算法的稳定性

• 稳定的排序算法： 指待排序的序列中存在值相等的元素时，经过排序后，相等元素之间原有的先后顺序不变

如何选择合适的排序算法？

• 对小规模数据进行排序，可以选择时间复杂度是 O(n^2) 的算法
• 对大规模数据进行排序，时间复杂度是 O(nlogn) 的算法更加高效
• 为了兼顾任意规模数据的排序，一般都会首选时间复杂度是 O(nlogn) 的排序算法来实现排序函数

如何优化快速排序？

• 快速排序出现 O(n^2)时间复杂度的主要原因是因为分区节点选择不够合理
• 最理想的分区节点是：被分区点分开的两个分区中，数据的数量差不多
• 方法
  • 1、三数取中法（五数取中、十数取中等）：从区间的首、尾、中间，分别取出一个数，然后对比大小，取这 3 个数的中间值作为分区点
  • 2、随机法：每次从要排序的区间中，随机选择一个元素作为分区点
  • 3、等等

解答思考题

• 1. 为什么插入排序比冒泡排序更受欢迎？

  从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要 3 个赋值操作，而插入排序只需要 1 个。

   // 冒泡排序中数据的交换操作：
      if (a[j] > a[j+1]) {  //  交换
          int tmp = a[j];
          a[j] = a[j+1];
          a[j+1] = tmp;
          flag = true;
      }
      
      //  插入排序中数据的移动操作：
      if (a[j] > value) {
          a[j+1] = a[j];  //  数据移动
      } else {
          break;
      }
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• 2. 如何用快排思想在O(n)内查找第K大元素？

  比如，4， 2， 5， 12， 3 这样一组数据，第 3 大元素就是 4。
  
  我们选择数组区间 A[0…n-1] 的最后一个元素 A[n-1] 作为 pivot，对数组 A[0…n-1] 原地分区，这样数组就分成了三部分，A[0…p-1]、A[p]、A[p+1…n-1]。
  
  如果 p+1=K，那 A[p] 就是要求解的元素；如果 K>p+1, 说明第 K 大元素出现在 A[p+1…n-1] 区间，我们再按照上面的思路递归地在 A[p+1…n-1] 这个区间内查找。同理，如果 K<p+1，那我们就在 A[0…p-1] 区间查找。
  
  我们再来看，为什么上述解决思路的时间复杂度是 O(n)？
  
  第一次分区查找，我们需要对大小为 n 的数组执行分区操作，需要遍历 n 个元素。第二次分区查找，我们只需要对大小为 n/2 的数组执行分区操作，需要遍历 n/2 个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为、n/2、n/4、n/8、n/16.……直到区间缩小为 1。
  
  如果我们把每次分区遍历的元素个数加起来，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1。这是一个等比数列求和，最后的和等于 2n-1。所以，上述解决思路的时间复杂度就为 O(n)。

• 3. 如何根据年龄给100万用户数据排序？（线性排序）

  假设年龄的范围最小 1 岁，最大不超过 120 岁。可以遍历这 100 万用户，根据年龄将其划分到这 120 个桶里，然后依次顺序遍历这 120 个桶中的元素。这样就得到了按照年龄排序的 100 万用户数据。

• 4. 如何实现一个通用的、高性能的排序函数？（排序优化）

  1.数据量不大时，可以采取用时间换空间的思路
  2.数据量大时，优化快排分区点的选择
  3.防止堆栈溢出，可以选择在堆上手动模拟调用栈解决
  4.在排序区间中，当元素个数小于某个常数是，可以考虑使用O(n^2)级别的插入排序
  5.用哨兵简化代码，每次排序都减少一次判断，尽可能把性能优化到极致

参考链接

• 《数据结构与算法之美》专栏 王争