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离散数学

第二章 二元关系

2.1 关系运算对种类的影响

2.2 集合上能定义多少关系

2.3 用关系矩阵计算复合关系

PS：不容易出错

2.4 求逆没有关系数量的变化

2.5 等价关系：自反、对称、传递

1、等价关系与划分是一一对应的。

2、组合数求法：
$$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$
3、stirling数：

​ 第二类stirling数：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$
$$\sum _{r=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$$

2.6 偏序关系：自反、反对称、传递

1、$R$为偏序关系，记为$⪯$，序偶：
$$<X,⪯>$$
称为偏序集。

2、盖住必须是直接的，中间不能有其他的元素

3、哈斯图：

4、全序（线序）：$<X,⪯>$是偏序集，$X$是一个链（每两个元素都有关系）

良序集合一定是全序集，有限的全序集和一定是良序集合。

5、特殊元素：

• 极大（小）元：没有比他更大（小）的

  存在但不唯一

• 最大（小）元：比所有元素大（小）的

  可以不存在，但如果存在，必定唯一

• 上下界、上下确界：比所有元素大（小）的

  界存在时确界也不一定存在

6、函数映射
$$f:X⟶Y$$
1、成为函数的条件：

• $X$的每个元素都有像（存在性条件）
• $X$的每个元素都只有一个像（唯一性条件）

2、用矩阵表示函数时，矩阵每一行必须有一个且只有一个值为1的项。

3、$X\times Y$共有$m\times n$个序偶， $X$到$Y$有$2^{mn}$个不同关系，但只有$n^m$个函数。

4、可逆函数是双射的

5、复合函数：

第三章 代数系统的一般概念和性质

3.1 运算

1、$A$上的$n$元运算：$f\cdot A^n⟶B$

2、左右幺元若同时存在，则必定相等且唯一。

3、左右零元若同时存在，则必定相等且唯一。

4、逆元可不唯一，但是：

​ 若$A$有幺元，且运算可结合，那么左逆元存在时，必定是右逆元。

5、多于1个元素的集合中，幺元一定不是零元

3.2 代数系统

1、非空集合$A$，连同定义在$A$上的封闭运算，所组成的系统，称为一个代数系统，简称代数。

3.3 同态

1、$V_1=<S_1,\circ >$，$V_2=<S_2,\ast >$，$\phi$是$S_1$到$S_2$的映射

运算的像等于像的运算:
$$\phi (x\circ y)=\phi (x)\ast \phi (y)$$

2、$V_1=<S_1,\circ >$，$V_2=<S_2,\ast >$，$\phi$是$S_1$到$S_2$的：

• 单射，单一同态
• 满射，满同态
• 双射，同构

3.4 同构

1、同构映射不一定是唯一的，同构是可逆的

2、同构的必要条件：

• 运算的个数相同
• 集合元素的个数相同
• 运算定义相同

3、同构是一种关系，而且是一个等价关系（自反、对称、传递）

第四章 典型代数系统

4.1 半群

1、代数系统（封闭）$<G,\ast >$：

• $\ast$为$G$上的满足结合律的二元运算

则称此代数系统为半群。

2、$B\subseteq G$且$<B,\ast >$为半群，则$<B,\ast >$为$<G,\ast >$的子半群。

3、有限的半群存在等幂元。

4、运算$\ast$可交换，$<G,\ast >$是可换半群。

5、运算$\ast$有幺元，$<G,\ast >$是含幺半群（独异点）

6、独异点的运算表中，任意两行或两列都是不同的。

4.2 群

1、代数系统（封闭）$<G,\ast >$：

• $\ast$为$G$上的满足结合律的二元运算
• $\ast$存在幺元$e$
• $G$中每个元素都有逆元

则称此代数系统为群。

$G$中元素个数记为群的阶；等于$e$的最小幂次记为元素的阶。
$$元素阶\le 群的阶$$
2、若$\ast$可交换，群就是阿贝尔群（交换群）。

3、从同构意义上看，一二三四阶群都只有一个。

4、若元素阶最大为2，则群一定为阿贝尔群。

5、阶数大于1的群，没有零元。

6、$a,b\in G,a\ast x=b$必存在唯一解。

7、由于群是独异点加条件构造的，所以运算表中，任意两行或两列都是不同，即每行每列都是元素的一个置换（全排列）。

8、

4.3 子群

1、$S$是$G$的非空子集，若$<S,\ast >$也是群，那么他是$<G,\ast >$的子群。

2、平凡子群： S = { e } S = \{e\} S={e}或 S = { G } S = \{G\} S={G}

群的幺元一定是子群的幺元

3、证明子群：

• $B$是$G$的非空有限子集，只要运算$\ast$封闭，则$<B,\ast >$是子群。

• $S$是$G$的非空子集，$S$中任意两个元素$a,b$，都有
  $$a\ast b^{-1}\in S$$
  则$<S,\ast >$是子群。

4.4 循环群与置换群

1、生成元：能够用幂次表示群中所有元素的元素

生成元的阶数与群的阶数相同

2、四元群不是循环群

3、循环群必定是阿贝尔群

4、

• 无限阶循环群$G=<a>$生成元为

$$a和a^{-1}$$

• n（有限）阶循环群$G=<e,a,a^2,a^3,...,a^{n-1}>$，生成元为：

$$a^t$$

​ (当且仅当 t 与 n 互质)

5、置换群：

$S$到$S$的任何一个双射，就称为$S$到$S$的置换。

6、置换群可以用不交的轮换之积表示。

7、任一有限群均与一个置换群同构

4.5 拉格朗日定理

1、$<G,\ast >$是有限群，$<H,\ast >$是其子群，若$|G|=m,|H|=n$，则$n|m$

2、子群存在时，子群的阶数一定是原群阶数的因子（反过来不成立）

3、

• 元素阶数能整除群的阶数
• $a^m=e$

4、

• 素数阶群没有非平凡子群
• 素数阶群必是循环群，除幺元外都为生成元

5、$m$阶循环群必有因子阶循环子群

4.6 环与域

1、环：

• 代数系统（封闭）$<A,+,\cdot >$
• $<A,+>$是阿贝尔群
• $<A,\cdot >$是半群
• $\cdot$对$+$可分配

2、

如果$<A,\cdot >$可交换，$<A,+,\cdot >$是交换环。

如果$<A,\cdot >$有幺元，$<A,+,\cdot >$是含幺环。

3、整环

• 代数系统（封闭）$<A,+,\cdot >$
• $<A,+>$是阿贝尔群
• $<A,\cdot >$是可交换 独异点，且无零因子（任意两个元素的运算不等于乘法零元，等价于乘法消去律）
• $\cdot$对$+$可分配

即可换、含幺的无零因子环

4、域

• 代数系统（封闭）$<A,+,\cdot >$
• $<A,+>$是阿贝尔群
• $<A,\cdot >$是阿贝尔群
• $\cdot$对$+$可分配

5、域一定是整环

6、有限整环一定是域

4.7 格与布尔代数

1、格：任两个元素都有==上下确界==的偏序集

不是所有偏序集都是格，即便是格也不一定是子格

2、对偶的偏序集，哈斯图互为颠倒

格的对偶（$\vee$ 换成 $\wedge$，$\wedge$换成 $\vee$ ）仍是格

3、由格$<A,⪯>$诱导的代数系统，$<A,\vee ,\wedge >$，满足：

• 交换律
• 结合律
• 等幂律
• 吸收律

4、分配格：格诱导的代数系统，满足分配律，称这个格为分配格。

5、有界格：如果一个格中存在全下界（最小元）和全上界（最大元），则称该格为有界格。

补元：有界格$<A,⪯>$对$a\in A$，若存在$b\in A$，使得==$a\vee b=1,a\wedge b=0$==，则称$b$为$a$的补元。

（一个元素可以有多个补元，也可以没有补元）

6、有补格：每个元素至少有一个补元的有界格

有界分配格中，若一个元素有补元，则一定唯一

7、有补分配格满足德摩根律

8、有补分配格就是布尔格

9、由布尔格诱导的代数系统称为布尔代数，满足：

• 交换律
• 结合律
• 等幂律
• 吸收律
• 分配律
• 零一律
• 同一律
• 互补律
• 对合律
• 德摩根律

第五章 图的一般概念和性质

5.1 基本概念

1、握手定理：结点度数总和等于变数的两倍

2、在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。

3、简单图：不含平行边和环

多重图：含平行边

4、完全图：每对结点都有边相连的简单图

有向简单图边数：$n(n-1)$

无向简单图边数：$\frac{n(n-1)}{2}$

5、补图：包含所有结点，及补成完全图所添加的边

6、生成子图：包含所有结点的子图

7、拉姆齐数：$R(k,l)=n$，$n$个人中必定有$k$个人相识或者$l$个人互不认识

$R(3,3)=6$

8、图的同构

结点和边一一对应

必要条件：

• 结点数目相同
• 边数相同
• 度数序列相同

5.2 连通

1、通路、回路

简单通路、回路：通过的各边均不相同

基本通路、回路：通过的各点均不相同（回路首尾相同）

2、长度：边的数目

3、$n$阶图，若两点间有通路，则必定存在一条长度小于等于==$n-1$==的通路

$n$阶图，若两点间有回路，则必定存在一条长度小于等于==$n$==的回路

4、点连通度 $\le$ 边连通度 $\le$ 图的最小度

5、割点的充要条件：存在两结点，使得通过这两点的每条通路都经过该点

6、单侧连通：两点间至少单向可达

强连通：任两点均双向可达

弱连通：去掉方向后是无向连通图

7、有向图强连通，当且仅当$G$中存在一个回路，至少包含$G$中所有结点一次

8、最短路径问题—标号法

5.3 图的矩阵表示

1、邻接矩阵$n\times n$

是否邻接

算$A$的$l$次幂可以得到==长度为$l$==的通路、回路数目

2、可达性矩阵$n\times n$

是否可达（存在通路或回路）

​ 算邻接矩阵的元素个数次幂，然后进行布尔运算

3、关联矩阵$n\times m$

无向图：点与边的关联次数

有向图：正为边的起点，负为终点

第六章 特殊图

6.1 欧拉图

1、经过每边一次且仅一次

2、无向图 $G$ 存在欧拉通路，当且仅当 $G$ 连通，且有 $0$ 个或 $2$ 个奇数度结点

3、无向图 $G$ 存在欧拉回路，当且仅当 $G$ 连通，且度结所有结点均为偶数度

哥尼斯堡七桥问题4个结点的度数都为奇数

一笔画问题

4、单向欧拉通路（回路）

5、有向图 $G$ 存在单向欧拉通路，当且仅当 $G$ 连通，且除了两个结点外，每个结点入度等于出度，这两个结点一个入度比出度大$1$，一个小$1$

6、有向图 $G$ 存在单向欧拉回路，当且仅当 $G$ 连通，且每个结点入度等于出度

7、求欧拉回路

6.2 哈密尔顿图

1、每点一次且仅一次

2、必要条件：
$$W(G-s)\le |S|$$

3、充分条件：

• 通路：每对结点度数和大于等于 $n-1$
• 回路：每对结点度数和大于等于 $n$

6.3 二部图（偶图）

1、能划分成两个子集，子集内无边

2、无向图 $G=<V,E>$ 是二部图，当且仅当 $G$ 中所有回路长度均为偶数

3、相异性条件

二部图 $G=<V_1,V_2,E>$，$|V_1|\le |V_2|$，存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配，当且仅当 $V_1$ 中任 $k$ 个结点至少邻接 $V_2$ 中 $k$ 个结点。

4、 $t$ 条件

二部图 $G=<V_1,V_2,E>$，满足：

• $V_1$ 中每个结点至少关联 $t$ 条边
• $V_2$ 中每个结点至多关联 $t$ 条边

则存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的完备匹配

5、奇数个结点的二部图不是哈密尔顿图。

6.4 平面图

1、结点和边都画在平面上，且使得任何两条边除端点外没有交点

2、面的次数之和等于边数的两倍

3、欧拉公式

连通平面图
$$v-e+r=2$$
$v$：结点数

$e$：边数

$r$：面数

4、$v\ge 3$时，连通简单平面图的必要条件：
$$e\le 3v-6$$

5、库氏定理

一个图是平面图，当且仅当他不包含与 $K_{(3,3)}$ 和 $K_5$ 二度节点内同构的子图

6.5 树

1、

1. 无回路的连通图
2. 无回路且 $e=v-1$
3. 连通且 $e=v-1$
4. 无回路，但加边后得到一个且仅一个回路
5. 连通，但删任一边后都不连通
6. 每对结点有且只有一条通路

2、非平凡树至少有两片树叶

3、连通图至少有一颗生成树

第七章 命题逻辑

7.1 命题

1、命题：能判断真假的陈述句，只有一个真值

感叹句、疑问句、祈使句、悖论等都不是命题

2、变元和常元

常元是命题，变元不是。变元经过指派后才是命题

7.2 联结词

$P,Q$都是命题

1、否定 $\neg P$

2、合取（与） $P\wedge Q$

3、析取（或） $P\vee Q$

4、蕴含 $P⟶Q$ （善意的推断）

5、等价 $P⟷Q$

扩展：

1. 不可兼析取（异或） $P\overline{\vee }Q$

2. 条件否定（蕴含的逆） $P\underrightarrow{c}Q$

3. 与非 $P\uparrow Q$

4. 或非 $P\downarrow Q$

7.3 命题公式

1、原子命题：不包含任何联结词

复合命题：至少包含一个联结词

2、命题公式

命题公式不是命题

3、命题公式的分类：

• 重言式（永真式）
• 矛盾式（永假式）
• 可满足式

4、含 $n$ 个命题变元的公式，共有 $2^n$ 组不同赋值

5、$n$ 个命题变元只能生成 $2^{2^n}$ 个真值不同的命题公式

7.4 真值表

7.5 极小联结词组

1、$D$ 可表示所有联结词，不含冗余联结词

冗余联结词：可由 $D$ 中其他联结词表示的联结词

2、例子：

• { ¬ , ∨ } \{ \lnot, \vee \} {¬,∨}
• { ¬ , ∧ } \{ \lnot, \wedge \} {¬,∧}
• { ↑ } \{ \uparrow \} {↑}
• { ↓ } \{ \downarrow \} {↓}

7.6 范式

7.7 推理

1、真值表法

2、直接证明法

3、间接证明法

• 附加前提（CP）
• 归谬