拉格朗日对偶性_拉格朗日原始对偶

说明

在约束优化问题中，常常用拉格朗日对偶性来将原始问题转为对偶问题，通过解对偶问题的解来得到原始问题的解。

0 为什么要利用对偶？

首先要明确，对偶问题的解不一定直接等于原问题的解（弱对偶），但是，对偶问题有两点性质。

1.1 满足某些条件时，对偶问题直接等于原问题的解（强对偶）

1.2 无论原始问题是否是凸的，对偶问题都是凸优化问题

1.3（重点）凸优化问题的局部最优就是全局最优

显然，在某些情况下，直接对对偶问题求解可以得到原问题的解，而且对偶问题是凸优化，易于求解。所以利用对偶来求解是很有用的。

1、原始问题

考虑原始的优化问题如下

观察上面的最优化问题，便是在一定的约束条件下求解函数的极值，我们上面已经说过拉格朗日乘子法啦，所以这里便用到了。先定义拉格朗日函数
需要明确：其中α≥0、λ任意，均为拉格朗日乘子，i=1,2,…,k且j=1,2,…,m

如果按照我们按照拉格朗日乘子法的思路，则应该让L(x,α,β)对x以及参数α和β进行求导，然后得出结果带入原始便可求出我们需要的最优解。

但需要注意两点：
（1）这里参数α和λ总共k+m个，如果全部求偏导工作量太大，不现实；
（2）并且大家有没有想过，这个问题可能根本就没有最优解这种情况存在。

针对上面情况，我们便引出了换一种思路，那就是利用对偶问题，也就是将原问题转化成其对偶问题进行求解。

下面和大家先说一下对偶问题的基本思想，然后我们再继续从上面的问题出发，推导其对偶问题，进行求解。

对偶问题的性质：无论原命题的形式如何，对偶问题都是一个凸优化问题，还记得凸优化问题的好处吧，那就是局部最优解就是全局最优解，并且容易求解，所以我们将问题转化为其对偶问题就简化了问题的求解思路。

上面我们利用拉格朗日乘子法得到了如下式子：

现在我们自定义一个函数如下：

分析上面的自定义函数有：
对上面的式子进行分析：

（1）式说明，当目标函数的约束条件都满足时，g(x)≤0,α≥0,αg(x)≤0,所以在对α求最大值时maxαg(x)=0，又因为h(x)=0,所以则自定义的函数便是上面需要求解的目标函数f(x)，
（2）则是只要目标函数的约束条件只有一个不满足，则自定义的函数便等于无穷大！即只要满足约束条件时自定义的函数才会变成目标函数f(x).
如果我们对自定义函数pθ(x)求最小值，则pθ(x)的最小值一定是满足约束条件的f(x)的最小值。

所以我们便可以认为自定义的函数pθ(x) 是对原理优化问题中的约束条件进行了吸收，是原来的约束优化问题变为无约束优化问题（相对于原来变量x 无约束了），即我们可以将最初的优化问题写成：

上式便是我们需要优化的原问题。

2、 对偶问题

原问题的对偶问题便是：
同时，我们定义原始问题的最优值为P*

同时，我们定义对偶问题的最优值为Q*

3、原始问题和对偶问题的关系

可以得知Q⩽P，因为P是先求最大的一块区域然后在这块区域求最小，Q是先求最小的一块区域然后在这块区域求最大，最大里面的最小，总会比最小里面的最大要大（或等于）。

Q⩽P，称为弱对偶，对于所有优化问题都成立，这个时候我们可以得到原始问题的一个下界。

如果Q*=P*，称为强对偶，满足某些条件才成立，这时可以用解对偶问题替代原始问题。那么满足什么样的条件可以得到强对偶呢？

如果原问题是一个凸优化，并且不等式约束g(x)是严格可行的，即存在x对所有i有gi(x)<0，那么强对偶成立。这里需要注意的是，这里的条件只是强对偶成立的一种情况，对于非凸的问题也有可能是强对偶。
slater条件：存在x对所有i有gi(x)<0，那么强对偶成立。
强对偶成立时，将拉格朗日函数分别对原变量x和对偶变量α和λ分别求导，令导数等于零（还需要满足KKT条件），即可求解对偶问题的解，也就求得了原问题的解。

4、 对偶求解和拉格朗日乘子法求解

对于拉格朗日乘子法求解，当原问题是凸优化的时候，考虑满足KKT的条件，对于拉格朗日函数求导等于0即可得到解。

对于对偶问题求解，转换为对偶函数求解，为了得到原始问题的解，要求强对偶，而在强对偶（不一定满足原问题凸优化）的情况下，考虑满足KKT的条件，对于拉格朗日函数求导等于0即可得到解。

当原问题是凸优化的时候，强对偶和KKT条件是互为充要条件的。

参考资料
支持向量机（SVM）必备知识(KKT、slater、对偶）
拉格朗日对偶性