数学建模30种基本模型_数学建模-最优化模型-单变量最优化

引言

解决最优化问题是数学的一些最为常见的应用，无论我们进行何种工作，我们总是希望达到最好的结果，而使不好的方面或消耗等降到最低。这其中有一个共同的数学模型：

有一个或多个看可以控制的变量，它们通常受一些实际中的限制，通过对这些变量的控制，从而使某个目标达到最优。

最优化模型正是要给定问题的约束条件。确定受约束的可控变量的取值，以达到最有结果。

五步方法

1. 提出问题： 三个阶段(变量、假设、目标)
2. 选择建模方法
3. 推导模型的数学表达式
4. 求解模型
5. 回答问题

举例

一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需要花费45美分，猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1%，求出售猪的最佳时间。

# %%# 第一步提出问题# 1美元=100美分# 全部的变量# 养猪的天数# 猪的重量# 猪的价格# 饲养天数的花费# 售出猪的收益# 净收益# 假设# 从现在到出售猪期间经历的天数days = 0# 猪的重量def pigWeight(days):    return 200 + 5*days# 养猪期间的花费def cost(days):    return days * 0.45# 猪的市场价格def unitPrice(days):    return 0.65 - 0.01*days# 售出生猪所获得的收益def revenue(days):    return pigWeight(days) * unitPrice(days)# 净收益def profit(days):    return revenue(days) - cost(days)# 目标# 求 净收益 的最大值# %%# 第二步是选择建模方法# 很明显真正的变量是养猪的天数，所以是一个单边量优化问题# %%# 推导模型# %%# 求解模型import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdays = np.arange(0, 15, 1)P = profit(days)plt.figure()plt.scatter(days, P)plt.show()# %%# 回答问题# 所以在第8天得到最大净收益print("最大净收益是: %f, 在第8天" % profit(8))# %%

灵敏性分析

我们很少能保证这些假设都是完全正确的。因此我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度。这种灵敏性分析是数学建模中的一个重要方面。具体内容与所用的建模方法有关。

数据是由测量、观察有时甚至完全是由猜测得到的，因此我们要考虑数据不准确的可能性。

我们知道有些数据要比其他的可靠性高的多，生猪现在的重量、猪现在的价格，每天的饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。猪的生长速率则不那么确定，而价格的下架速率则确定性更低。

记r为价格下降的速率。我们前面假设r=1%美元/天。现在我们假设r的实际值是不同的。下面是对几个不同的r的求解结果

# %%# 第一步提出问题# 1美元=100美分# 全部的变量# 养猪的天数# 猪的重量# 猪的价格# 饲养天数的花费# 售出猪的收益# 净收益# 假设# 从现在到出售猪期间经历的天数days = 0# 猪的重量def pigWeight(days):    return 200 + 5*days# 养猪期间的花费def cost(days):    return days * 0.45# 猪的市场价格def unitPrice(days,r):    return 0.65 - r * days# 售出生猪所获得的收益def revenue(days, r):    return pigWeight(days) * unitPrice(days, r)# 净收益def profit(days, r=0.01):    return revenue(days, r) - cost(days)# 目标# 求 净收益 的最大值# %%# 第二步是选择建模方法# 很明显真正的变量是养猪的天数，所以是一个单边量优化问题# %%# 推导模型# %%# 求解模型import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdays = np.arange(0, 20, 1)P1 = profit(days, 0.008) P2 = profit(days, 0.009)P3 = profit(days, 0.01) P4 = profit(days, 0.011) P5 = profit(days, 0.012) plt.figure()plt.scatter(days, P1, color='red', label='r=0.008')plt.scatter(days, P2, color='green', label='r=0.009')plt.scatter(days, P3, color='blue', label='r=0.01')plt.scatter(days, P4, color='pink', label='r=0.011')plt.scatter(days, P5, color='black', label='r=0.012')plt.legend() # 显示图例plt.show()# %%

所以得到结果：

我们可以看到售猪的最优时间对参数r既价格的下降率是很敏感的。

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对灵敏性更系统的分析是将r作为未知的参数，仍按前面的步骤求解

y = f(x) = (0.65 - rx)(200+5x) - 0.45x

f'(x) = -2(25rx+500r-7)/5

令f'(x) = 0 则 x = (7-500r)/25r

这样只要 x >=0, 则 0 < x <= 0.014

很明显当x > 0.014后x < 0, 所以最佳的售猪时间是x=0。

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猪的生长率g同样不很确定，

# %%# 第一步提出问题# 1美元=100美分# 全部的变量# 养猪的天数# 猪的重量# 猪的价格# 饲养天数的花费# 售出猪的收益# 净收益# 假设# 从现在到出售猪期间经历的天数days = 0# 猪的重量def pigWeight(days, g):    return 200 + g * days# 养猪期间的花费def cost(days):    return days * 0.45# 猪的市场价格def unitPrice(days,r):    return 0.65 - r*days# 售出生猪所获得的收益def revenue(days, r, g):    return pigWeight(days, g) * unitPrice(days, r)# 净收益def profit(days, r=0.01, g = 5):    return revenue(days, r, g) - cost(days)# 目标# 求 净收益 的最大值# %%# 第二步是选择建模方法# 很明显真正的变量是养猪的天数，所以是一个单边量优化问题# %%# 推导模型# %%# 求解模型import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdays = np.arange(0, 20, 1)P1 = profit(days, r=0.01, g=3) P2 = profit(days, r=0.01, g=4) P3 = profit(days, r=0.01, g=5)P4 = profit(days, r=0.01, g=6)P5 = profit(days, r=0.01, g=7)plt.figure()plt.scatter(days, P1, color='red', label='g=3')plt.scatter(days, P2, color='green', label='g=4')plt.scatter(days, P3, color='blue', label='g=5')plt.scatter(days, P4, color='pink', label='g=6')plt.scatter(days, P5, color='black', label='g=7')plt.legend() # 显示图例plt.show()

公式 f(x) = (0.65-0.01x)(200+gx) - 0.45

f'(x) = -[2gx + 5(49-13g)]/100

令f'(x) = 0 则 x = 5(13g-49)/2g,得出图像

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将灵敏性数据表示成相对改变量或百分比改变的形式，要比绝对改变量的形式更自然也更适用。

我们称这个极限为x对r的灵敏性，记为S(x, r)。

所在在售猪问题中

dx/dr = -7 / 25r^2

所以当r=0.01时，S(x, r) = -7/2， 即弱r增加了2%，则x下降了7%

同理当g=5时，我们得到S(x, g) = 3.0625，所以猪的生长率增加1%，会导致多等待3%的时间再将猪出售。

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我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏性分析。对灵敏性系数的解释还要依赖于参数的不确定程度。原始问题中数据的不确定性程度会影响我们对答案的自信度。

在这个售猪问题中，我们通常认为猪的生长率g比价格的下降率r更靠谱。如果我们观察了猪或其他类似动物在过去的生长情况，g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇。

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一个数学模型称为有稳健性是指即这么模型不完全精确，由其导出的结果仍是正确的。在实际问题中，我们不会有绝对精确的信息，即使能够建立一个完美的精确的模型，我们也可能采用较简单和易于处理的近似方法。

一个好的数学模型有稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但足够近似从而可以在实际问题中应用。

P = 净收益(美元)

p = 猪的价格(美元/磅)

w = 猪的重量(磅)

t = 时间(天)

让我们来考察售猪问题中的假设，其基本方程

P = pw - 0.45t

如果模型的初始数据和假设没有与实际相差太远，则售出的最佳时间应该由令P‘ = 0得到。

计算后有 p'w + pw' = 0.45

其中p'w + pw'项代表猪价的增长率。

模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂不卖出，继续饲养。

此外，猪的价格改变包括两项：p'w和pw'。

第一项p'w代表因价格下架而损失的价格，第二项pw'代表由于猪增重而增加的价值。

显示中需要使用实际的数值，用模型重新计算。