当设计 GWO 时，首先需构建灰狼社会等级层次模型。计算种群每个个体的适应度，将狼群中适应度最好的三匹灰狼依次标记为 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\delta$ 而剩下的灰狼标记为 $\omega$ 。也就是说，灰狼群体中的社会等级从高往低排列依次为 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\delta$ 及 $\omega$ 。GWO 的优化过程主要由每代种群中的最好三个解（即 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\delta$ ）来指导完成。

2.2 包围猎物

灰狼群体通过以下几个公式逐渐接近并包围猎物:

式中，t是当前的迭代代数，A和C是系数向量，Xp和X分别是猎物的位置向量和灰狼的位置向量。A和C的计算公式如下:

式中，a是收敛因子，随着迭代次数从2线性减小到0，r1和r 2服从[ 0，1]之间的均匀分布。

2.3 狩猎

狼群中其他灰狼个体Xi根据α、β和百的位置Xa、XB和Xo来更新各自的位置：

式中,Da，Dβ和D6分别表示a，β和5与其他个体间的距离;Xa，Xβ和X6分别代表a，β和5的当前位置;C1，C2，C3是随机向量，X是当前灰狼的位置。
灰狼个体的位置更新公式如下:

2.4 攻击猎物

构建攻击猎物模型的过程中，根据2)中的公式，ａ值的减少会引起 A 的值也随之波动。换句话说，A 是一个在区间［-a，a］（备注：原作者的第一篇论文里这里是[-2a,2a]，后面论文里纠正为[-a,a]）上的随机向量，其中ａ在迭代过程中呈线性下降。当 A 在［-1，１］区间上时，则捜索代理（Search Agent）的下一时刻位置可以在当前灰狼与猎物之间的任何位置上。

2.5 寻找猎物

灰狼主要依赖 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\delta$ 的信息来寻找猎物。它们开始分散地去搜索猎物位置信息，然后集中起来攻击猎物。对于分散模型的建立，通过｜A｜＞１使其捜索代理远离猎物，这种搜索方式使 GWO 能进行全局搜索。GWO 算法中的另一个搜索系数是Ｃ。从2.2中的公式可知，Ｃ向量是在区间范围［０，２］上的随机值构成的向量，此系数为猎物提供了随机权重，以便増加（｜Ｃ｜＞１）或减少（｜Ｃ｜＜１）。这有助于 GWO 在优化过程中展示出随机搜索行为，以避免算法陷入局部最优。值得注意的是，Ｃ并不是线性下降的，Ｃ在迭代过程中是随机值，该系数有利于算法跳出局部，特别是算法在迭代的后期显得尤为重要。

3 实现步骤及程序框图

3.1 步骤

Step1:种群初始化:包括种群数量N，最大迭代次数Maxlter，调控参数a,A，C.Step2:根据变量的上下界来随机初始化灰狼个体的位置X。
Step3:计算每一头狼的适应度值，并将种群中适应度值最优的狼的位置信息保存 $X_{\alpha }$ ，将种群中适应度值次优的狼的位置信息保存为 $X_{\beta }$ ，将种群中适应度第三优的灰狼的位置信息保存为 $X_{\gamma }$ 。
Step4:更新灰狼个体X的位置。
step5:更新参数a，A和C。
Step6:计算每一头灰狼的适应度值，并更新三匹头狼的最优位置。
Step7:判断是否到达最大迭代次数Maxlter，若满足则算法停止并返回Xa的值作为最终得到的最优解，否则转到Step4。

3.2 程序框图

4 Python代码实现


 
#=======导入线管库======
import random
import numpy
 
 
def GWO(objf, lb, ub, dim, SearchAgents_no, Max_iter):
 
    #===初始化 alpha, beta, and delta_pos=======
    Alpha_pos = numpy.zeros(dim)  # 位置.形成30的列表
    Alpha_score = float("inf")  # 这个是表示“正负无穷”,所有数都比 +inf 小；正无穷：float("inf"); 负无穷：float("-inf")
 
    Beta_pos = numpy.zeros(dim)
    Beta_score = float("inf")
 
    Delta_pos = numpy.zeros(dim)
    Delta_score = float("inf")  # float() 函数用于将整数和字符串转换成浮点数。
 
    #====list列表类型=============
    if not isinstance(lb, list):  # 作用：来判断一个对象是否是一个已知的类型。 其第一个参数（object）为对象，第二个参数（type）为类型名，若对象的类型与参数二的类型相同则返回True
        lb = [lb] * dim  # 生成[100，100，.....100]30个
    if not isinstance(ub, list):
        ub = [ub] * dim
 
    #========初始化所有狼的位置===================
    Positions = numpy.zeros((SearchAgents_no, dim))
    for i in range(dim):  # 形成5*30个数[-100，100)以内
        Positions[:, i] = numpy.random.uniform(0, 1, SearchAgents_no) * (ub[i] - lb[i]) + lb[
            i]  # 形成[5个0-1的数]*100-（-100）-100
    Convergence_curve = numpy.zeros(Max_iter)
 
    #========迭代寻优=====================
    for l in range(0, Max_iter):  # 迭代1000
        for i in range(0, SearchAgents_no):  # 5
            #====返回超出搜索空间边界的搜索代理====
            for j in range(dim):  # 30
                Positions[i, j] = numpy.clip(Positions[i, j], lb[j], ub[
                    j])  # clip这个函数将将数组中的元素限制在a_min(-100), a_max(100)之间，大于a_max的就使得它等于 a_max，小于a_min,的就使得它等于a_min。
 
        
 
        #===========以上的循环里，Alpha、Beta、Delta===========
        a = 2 - l * ((2) / Max_iter);  #   a从2线性减少到0
 
        for i in range(0, SearchAgents_no):
            for j in range(0, dim):
                r1 = random.random()  # r1 is a random number in [0,1]主要生成一个0-1的随机浮点数。
                r2 = random.random()  # r2 is a random number in [0,1]
 
                A1 = 2 * a * r1 - a;  # Equation (3.3)
                C1 = 2 * r2;  # Equation (3.4)
                # D_alpha表示候选狼与Alpha狼的距离
                D_alpha = abs(C1 * Alpha_pos[j] - Positions[
                    i, j]);  # abs() 函数返回数字的绝对值。Alpha_pos[j]表示Alpha位置，Positions[i,j])候选灰狼所在位置
                X1 = Alpha_pos[j] - A1 * D_alpha;  # X1表示根据alpha得出的下一代灰狼位置向量
 
                r1 = random.random()
                r2 = random.random()
 
                A2 = 2 * a * r1 - a;  #
                C2 = 2 * r2;
 
                D_beta = abs(C2 * Beta_pos[j] - Positions[i, j]);
                X2 = Beta_pos[j] - A2 * D_beta;
 
                r1 = random.random()
                r2 = random.random()
 
                A3 = 2 * a * r1 - a;
                C3 = 2 * r2;
 
                D_delta = abs(C3 * Delta_pos[j] - Positions[i, j]);
                X3 = Delta_pos[j] - A3 * D_delta;
 
                Positions[i, j] = (X1 + X2 + X3) / 3  # 候选狼的位置更新为根据Alpha、Beta、Delta得出的下一代灰狼地址。
 
        Convergence_curve[l] = Alpha_score;
 
        if (l % 1 == 0):
            print(['迭代次数为' + str(l) + ' 的迭代结果' + str(Alpha_score)]);  # 每一次的迭代结果
 
#========函数==========
def F1(x):
    s=numpy.sum(x**2);
    return s
 
#===========主程序================
func_details = ['F1', -100, 100, 30]
function_name = func_details[0]
Max_iter = 1000#迭代次数
lb = -100#下界
ub = 100#上届
dim = 30#狼的寻值范围
SearchAgents_no = 5#寻值的狼的数量
x = GWO(F1, lb, ub, dim, SearchAgents_no, Max_iter)

5 Matlab实现


% 主程序 GWO
clear
close all
clc
 
%%完整代码见微信公众号：电力系统与算法之美
 
%输入关键字：灰狼算法
 
SearchAgents_no = 30 ; %　种群规模
dim = 10 ; % 粒子维度
Max_iter = 1000 ; %　迭代次数
ub = 5 ;
lb = -5 ;
 
%% 初始化三匹头狼的位置
Alpha_pos=zeros(1,dim);
Alpha_score=inf; 
 
Beta_pos=zeros(1,dim);
Beta_score=inf; 
 
Delta_pos=zeros(1,dim);
Delta_score=inf; 
 
 
 
Convergence_curve = zeros(Max_iter,1);
 
%% 开始循环
for l=1:Max_iter
    for i=1:size(Positions,1)  
        
       %% 返回超出搜索空间边界的搜索代理
        Flag4ub=Positions(i,:)>ub;
        Flag4lb=Positions(i,:)<lb;
        Positions(i,:)=(Positions(i,:).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub.*Flag4ub+lb.*Flag4lb;               
        
        %% 计算每个搜索代理的目标函数
        fitness=sum(Positions(i,:).^2);
        
        %% 更新 Alpha, Beta, and Delta
        if fitness<Alpha_score 
            Alpha_score=fitness; % Update alpha
            Alpha_pos=Positions(i,:);
        end
        
        if fitness>Alpha_score && fitness<Beta_score 
            Beta_score=fitness; % Update beta
            Beta_pos=Positions(i,:);
        end
        
        if fitness>Alpha_score && fitness>Beta_score && fitness<Delta_score 
            Delta_score=fitness; % Update delta
            Delta_pos=Positions(i,:);
        end
    end
    
    
    a=2-l*((2)/Max_iter); % a decreases linearly fron 2 to 0
    
    %% 更新搜索代理的位置，包括omegas
    for i=1:size(Positions,1)
        for j=1:size(Positions,2)     
                       
            r1=rand(); % r1 is a random number in [0,1]
            r2=rand(); % r2 is a random number in [0,1]
            
            A1=2*a*r1-a; % Equation (3.3)
            C1=2*r2; % Equation (3.4)
            
            D_alpha=abs(C1*Alpha_pos(j)-Positions(i,j)); % Equation (3.5)-part 1
            X1=Alpha_pos(j)-A1*D_alpha; % Equation (3.6)-part 1
                       
            r1=rand();
            r2=rand();
            
            A2=2*a*r1-a; % Equation (3.3)
            C2=2*r2; % Equation (3.4)
            
            D_beta=abs(C2*Beta_pos(j)-Positions(i,j)); % Equation (3.5)-part 2
            X2=Beta_pos(j)-A2*D_beta; % Equation (3.6)-part 2       
            
            r1=rand();
            r2=rand(); 
            
            A3=2*a*r1-a; % Equation (3.3)
            C3=2*r2; % Equation (3.4)
            
            D_delta=abs(C3*Delta_pos(j)-Positions(i,j)); % Equation (3.5)-part 3
            X3=Delta_pos(j)-A3*D_delta; % Equation (3.5)-part 3             
            
            Positions(i,j)=(X1+X2+X3)/3;% Equation (3.7)
            
        end
    end
  
    Convergence_curve(l)=Alpha_score;
    disp(['Iteration = ' num2str(l)  ', Evaluations = ' num2str(Alpha_score)]);
 
end
%========可视化==============
figure('unit','normalize','Position',[0.3,0.35,0.4,0.35],'color',[1 1 1],'toolbar','none')
%% 目标空间
subplot(1,2,1);
x = -5:0.1:5;y=x;
L=length(x);
f=zeros(L,L);
for i=1:L
    for j=1:L
       f(i,j) = x(i)^2+y(j)^2;
    end
end
surfc(x,y,f,'LineStyle','none');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('F')
title('Objective space')
%% 狼群算法 
subplot(1,2,2);
semilogy(Convergence_curve,'Color','r','linewidth',1.5)
title('Convergence_curve')
xlabel('Iteration');
ylabel('Best score obtained so far');
 
axis tight
grid on
box on
legend('GWO')
display(['The best solution obtained by GWO is : ', num2str(Alpha_pos)]);
display(['The best optimal value of the objective funciton found by GWO is : ', num2str(Alpha_score)]);

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