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2021数学建模国赛B题复盘详细解析_数学建模比赛真题以及详细解析

数学建模比赛真题以及详细解析

声明:本赛题为去年的题目,想着2022的国赛即将来临,我决定花一个晚上再次回顾经典题目。
未经允许,不得转载。——CSDN:川川菜鸟

题目

C4 烯烃广泛应用于化工产品及医药的生产,乙醇是生产制备 C4 烯烃的原料。在制备过程中,催化剂组合(即:Co 负载量、Co/SiO2 和 HAP 装料比、乙醇浓度的组合)与温度对 C4 烯烃的选择性和 C4 烯烃收率将产生影响(名词解释见附录)。因此通过对催化剂组合设计,探索乙醇催化偶合制备 C4 烯烃的工艺条件具有非常重要的意义和价值。
某化工实验室针对不同催化剂在不同温度下做了一系列实验,结果如附件 1 和附件 2 所示。请通过数学建模完成下列问题

问题

第一问
对附件 1 中每种催化剂组合,分别研究乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度的关系,并对附件 2 中 350 度时给定的催化剂组合在一次实验不同时间的测试结果进行分析。

第二问
探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及 C4 烯烃选择性大小的影响

第三问
如何选择催化剂组合与温度,使得在相同实验条件下 C4 烯烃收率尽可能高。若使温度低于 350 度,又如何选择催化剂组合与温度,使得 C4 烯烃收率尽可能高。

第四问
如果允许再增加 5 次实验,应如何设计,并给出详细理由。

名词解释与附件说明

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

第一问

分析

在这里插入图片描述
题目首先看前面部分,关键词:”附件1“,”每种“,”分别研究“,”关系“,“附件2”,“350度”

先看前面部分的附件1:
在这里插入图片描述
重新读题:“每种组合”,对应附件1数据中的第二列,先大概看看即可,主要是对应数据。

继续看第二句话:“分别研究…和温度的关系”。那么先只研究乙醇转化率和温度的关系,因此需要控制其它的变量是不变化的,这是很简单的控制变量法思想。我们希望乙醇转化率是x,温度是y,最后有可能类似y=ax+b的关系,如果其它变量发生变化,那就成了x1,x2…了,所以控制变量法。

为此,认真看数据第二列,数据比较多,需要理解一下,以A1的催化剂组合为例:

200mg 1wt%Co/SiO2- 200mg HAP-乙醇浓度1.68ml/min
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它的含义是:Co/SiO2 和 HAP 质量比为 200mg:200mg,且乙醇按每分钟 1.68 毫升加入。其中Co 与 SiO2 的重量之比为1:100(即1wt%)。

关于多项式的基础,其实本博客已经写过,照猫画虎:
在这里插入图片描述

第一小问

经过上述分析,回归问题对于每种催化剂组合,分别建立温度与乙醇转化率、温度与 C4 烯烃选择性的关系模型。

以A1组为例,先绘制出散点图,大概看看什么关系:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.array([250,275,300,325,350]).reshape((-1, 1))
y=np.array([2.07,5.85,14.97,19.68,36.80])

plt.scatter(x, y) # 绘制散点图
plt.show()
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如下:
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一眼看过去,线性勉强,至少我可以一眼看出它还可以用一个曲线表示,因此我觉得不用线性模型,而是非线性。

如果用线性模型拟合:

from sklearn.linear_model import LinearRegression
#实例化线性模型
lr = LinearRegression()
lr.fit(x, y)
y_predict = lr.predict(x)

plt.scatter(x, y )
plt.plot(x, y_predict)
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如下,明显误差很大:
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所以我采用多项式的方法进行拟合以A1为例:

import numpy 
x=[250,275,300,325,350]
y=[2.07,5.85,14.97,19.68,36.80]


mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 4)) # 三阶

myline = numpy.linspace(250, 350, 100) #

plt.scatter(x, y) # 原始点 
plt.plot(myline, mymodel(myline)) # 多项式回归
plt.show() #显示
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拟合如下:
在这里插入图片描述
同理 A2:
在这里插入图片描述
A3拟合:
在这里插入图片描述

A4拟合:
在这里插入图片描述
后续同样类似操作,可见是肯定能百分百拟合的!

下一个问题:得到数学模型,也就是数学公式。这里以A4为例,其它操作方法相同,只需要添加一行代码即可:

print(numpy.polyfit(x4, y4, 4))
  • 1

结果如下:

[ 2.36276730e-07 -3.22254088e-04 1.63402013e-01 -3.58919245e+01
2.87645755e+03]

公式(数学模型)为:y=2.36276730e-07 * x ^4 -3.22254088e-04 * x^3 + 1.63402013e-01 * x ^2 -3.58919245e+01 * x + 2.87645755e+03

其它每一组用同样方法求出来方程,这是必须的!因为题目有说到得到关系。

既然说到关系,还可以看看相关性,这里以A4为例:

import pandas as pd

x4=[250,275,300,325,350,400]
y4=[4.0,12.1,29.5,43.3,60.5,88.4]

data = [[250,4],[275,12.1],[300,29.5],[325,43.3],[350,60.5],[400,88.4]]

df = pd.DataFrame(data,columns=['x1','x2']) # 将第一维度数据转为为行,第二维度数据转化为列,即 32 列,并设置列标签

c1=df['x1']
c2=df['x2']

result= np.corrcoef(c1,c2)
result
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如下,可见完全相关:

array([[1.        , 0.99751423],
       [0.99751423, 1.        ]])
  • 1
  • 2

热力图:

import matplotlib.pyplot as plt
figure, ax = plt.subplots(figsize=(12, 12))
sns.heatmap(df.corr(), square=True, annot=True, ax=ax)
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如下在此证明十分相关:
在这里插入图片描述

还可以得出一个结论:在相同的催化剂组合条件下,温度越高,反应的活化分子数越多,有效碰撞增加,因此可以加快化学反应,乙醇的转化率越高。

第二小问

这个问题是:C4 烯烃的选择性与温度的关系

方法依然使用第一小问中的方法,进行多项式拟合,以A1为例,经过调试四阶依然刚好达到最好效果:

x=[250,275,300,325,350]
z=[34.05,37.43,46.94,49.7,47.21]

model = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, z, 4)) # 4阶

line = numpy.linspace(250, 350, 1000) 

plt.scatter(x, z) # 原始点 
plt.plot(line, model (line)) # 多项式回归
plt.show() #显示
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如下:
在这里插入图片描述
同理获得其它组的最佳拟合图以及拟合后数学方程。

第三小问

对附件 2 中 350 度时给定的催化剂组合在一次实验不同时间的测试结果进行分析。

打开数据看看:
在这里插入图片描述
先不管那么那么多绘制图形看看规律,时间为x轴,乙醇转化率为左侧轴,选择性为右侧轴。也就是可视化中的双Y轴图像。在excel中也叫做二维折线图

数据稍微修改一下更加整洁:
在这里插入图片描述

编写绘制双y轴代码:

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 中文

fig = plt.figure(figsize=(7, 4),dpi=150)  # 大小和清晰度
ax1 = fig.add_subplot(111)

ax1.plot(x, y1)
ax1.set_ylabel('乙醇转化率')
ax1.set_title("350℃下乙醇转化率和各种生成物的选择性随时间变化曲线")

ax2 = ax1.twinx()  

ax2.plot(x, y2)
ax2.plot(x, y3)
ax2.plot(x, y4)
ax2.plot(x, y5)
ax2.plot(x, y6)


ax2.set_ylabel('选择性')

plt.legend(data.columns,fontsize = 10) # 图标
plt.savefig(r"双y轴.png")
plt.show()
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绘制结果如下:
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随着反应的进行,乙醇转化率降低,也即乙醇的反应速率在下降,原因是乙醇的浓度在降低。在这个过程中,乙醇不断脱氢生成乙醛,乙醛的生成速率大于其消耗速率,因此乙醛在生成物中的占比不断增加,其选择性增加。由于 C4 烯烃制备过程的最后一步通常是由脂肪醇脱水生成,因此反应进行到 200 分钟时,脂肪醇和 C4 烯烃的选择性的变化趋势基本相同。当反应进行 240 分钟后,乙醇转化率不再随时间发生变化,也即乙醇的反应速率保持不变,因此可认为反应在 240 分钟时达到平衡态。

拓展思路

可以使用Matlab中的 Curve Fitting工具箱的polyfit()函数对该模型进行求解拟合,从而得到回归方程。

第二问

探讨不同催化剂组合及温度乙醇转化率以及 C4 烯烃选择性大小影响

分析

关键词:”影响“。再次看看附件1数据,对照题目要求。

既然说到一个东西对另外一个东西的影响,这里明显就是双因素方差分析 。双因素分别为温度和不同催化剂组合,通过判断这两个因素对乙醇转化率以及 C4 烯烃选择性大小两者的显著性来获得结果。如果你看过我 数学建模专栏机器学习专栏,我相信本篇文章所有解析都能轻松理解。除了双因素方差分析意外,其实机器学习中的岭回归也可以得到影响的一个好还是坏。

再详细一点:
自变量:即催化剂组合以及温度两个自变量。
因变量:即乙醇转化率以及 C4 烯烃选择性两个因变量。
既然谈
其中:每一个催化剂组合都是4个自变量:Co/Si02的质量、HAP质量、Co负载量、每分钟加入乙醇量。

综上,这题就是一个 5 个自变量,2 个因变量

做完双因素方差分析后,还需要做 多重比较,通过该方法可以得到更具体结果。

拓展

除了使用方差方法以外,也可以通过某种方法得到变量的重要性排序 。自然想到是回归这个大类,其中最常见的方法我认为可以是随机森林神经网络多元回归。 通过以上地某种方法可以得到各个变量地权重,从而得到影响力大小。

比如随机森林得到地结果:
在这里插入图片描述
重要性排名:
在这里插入图片描述

第三问

第一小问:如何选择催化剂组合与温度,使得在相同实验条件下 C4 烯烃收率尽可能高。(注意:C4 烯烃收率:其值为乙醇转化率  C4 烯烃的选择性)
第二小问:若使温度低于 350 度,又如何选择催化剂组合与温度,使得 C4 烯烃收率尽可能高。

分析

关键词:”尽可能高“,那就是最优问题。

令 C4 烯烃收率为因变量。通过第二问分析可知有五个自变量,这里将催化剂中四个组成因素与温度作为5个自变量,建立多元非线性模型,即五元二次方程。

设Co/Si02的质量、HAP质量、Co负载量、每分钟加入乙醇量分别为x1,x2,x3,x4。温度T为第五个自变量。

根据公式:C4 烯烃收率=乙醇转化率 * C4 烯烃的选择性。

装料方式一 情况下拟合出五元二次方程。参考结果如下:
在这里插入图片描述
装料方式二情况下,同样的进行拟合,得到三元二次方程结果如下:

y =10238-33.5x1一64.7T+0.1T^2+0.1x1*T-0.7x4*T
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方式一建立模型如下:
在这里插入图片描述
方式二建立模型 如下:
在这里插入图片描述

得到模型后,就是求最大值问题了,使用遗传算法求解即可,这是很容易的事,不再过多强调。

拓展

除了上述方法以外,还可以使用BP神经网络来做,可以理解为多输入单输出的BP,如下:
在这里插入图片描述
当然除了多元非线性还可以多元线性,同样的方式拟合也是可以的。

乙醇转化率的多元线性方程最终拟合得到结果如下:

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