堆排序原理及其实现(C++)_堆排序 c++

堆排序原理及其实现(C++)

1. 堆排序的引入

我们知道简单选择排序的时间复杂度为O(n^2)，熟悉各种排序算法的朋友都知道，这个时间复杂度是很大的，所以怎样减小简单选择排序的时间复杂度呢？简单选择排序主要操作是进行关键字的比较，所以怎样减少比较次数就是改进的关键。简单选择排序中第i趟需要进行n-i次比较，如果我们用到前面已排好的序列a[1...i-1]是否可以减少比较次数呢？答案是可以的。举个例子来说吧，A、B、C进行比赛，B战胜了A，C战胜了B，那么显然C可以战胜A，C和A就不用比了。正是基于这种思想，有人提出了树形选择排序：对n个记录进行两两比较，然后在([n/2]向上取整)个较小者之间在进行两两比较，如此重复，直到选出最小记录。但是这种排序算法需要的辅助空间比较多，所以威洛姆斯(J . Willioms)在1964年提出了另一种选择排序，这就是下面要谈的堆排序。

2. 什么是堆

首先堆heap是一种数据结构，是一棵完全二叉树且满足性质：所有非叶子结点的值均不大于或均不小于其左、右孩子结点的值.

3. 堆排序思想

堆排序的基本思想是利用heap这种数据结构(可看成一个完全二叉树)，使在排序中比较的次数明显减少。

堆排序的时间复杂度为O(n*log(n))， 非稳定排序，原地排序(空间复杂度O(1))。

堆排序的关键在于建堆和调整堆，下面简单介绍一下建堆的过程：

第1趟将索引0至n-1处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的最后一个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了最后。

第2趟将索引0至n-2处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第二个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第2位。

…

第k趟将索引0至n-k处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第k个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第k位。

其实整个堆排序过程中, 我们只需重复做两件事：

• 建堆(初始化+调整堆, 时间复杂度为O(n));

• 拿堆的根节点和最后一个节点交换(siftdown, 时间复杂度为O(n*log n) ).

因而堆排序整体的时间复杂度为O(n*log n).

下面通过一组数据说明堆排序的方法：

9, 79, 46, 30, 58, 49

1: 先将待排序的数视作完全二叉树(按层次遍历顺序进行编号, 从0开始)，如下图:

2：完全二叉树的最后一个非叶子节点，也就是最后一个节点的父节点。最后一个节点的索引为数组长度len-1，那么最后一个非叶子节点的索引应该是为(len-1)/2.也就是从索引为2的节点开始，如果其子节点的值大于其本身的值。则把他和较大子节点进行交换，即将索引2处节点和索引5处元素交换。交换后的结果如图：

建堆从最后一个非叶子节点开始即可

3：向前处理前一个节点，也就是处理索引为1的节点，此时79>30,79>58,因此无需交换。

4：向前处理前一个节点，也就是处理索引为0的节点，此时9 < 79,9 < 49, 因此需交换。应该拿索引为0的节点与索引为1的节点交换，因为79>49. 如图:

5：如果某个节点和它的某个子节点交换后，该子节点又有子节点，系统还需要再次对该子节点进行判断。如上图因为1处，3处，4处中，1处的值大于3,4出的值，所以还需交换。

牢记： 将每次堆排序得到的最大元素与当前规模的数组最后一个元素交换。

伪代码如下:

1、由于是完全二叉树, 故有:

PARENT(i)
  return i / 2
LEFT(i)
  return 2 * i
RIGHT(i)
  2 * i + 1
1
2
3
4
5
6

2、Heapify
以最大堆为例，伪代码：

MAX-HEAPIFY(A, i)

l = LIFT(i)
r = RIGHT(i)
if l <= A.heapsize and A[l] > A[i]
  largest = l
else largest = i
if r <= A.heapsize and A[r] > A[largest]
  largest = r
if largest != i
  exchage A[i] with A[largest]
  MAX-HEAPIFY(A, largest)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

3、Build Heap
以最大堆为例，伪代码：

BUILD-MAX-HEAP(A)

A.heap-size = A.length
for A.length / 2 downto 1
  MAX-HEAPIFY(A, i)
1
2
3

4、Heapsort
以最大堆为例，伪代码：

HEAPSORT(A)
BUILD-MAX-HEAP(A)

for i = A.length downto 2
  exchange A[1] with A[i]
  A.heap-size = A.heap-size - 1
  MAX-HEAPIFY(A, 1)
1
2
3
4

C++完整代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

void adjust(int arr[], int len, int index)
{
    int left = 2*index + 1;
    int right = 2*index + 2;
    int maxIdx = index;
    if(left<len && arr[left] > arr[maxIdx]) maxIdx = left;
    if(right<len && arr[right] > arr[maxIdx]) maxIdx = right;  // maxIdx是3个数中最大数的下标
    if(maxIdx != index)                 // 如果maxIdx的值有更新
    {
        swap(arr[maxIdx], arr[index]);
        adjust(arr, len, maxIdx);       // 递归调整其他不满足堆性质的部分
    }

}
void heapSort(int arr[], int size)
{
    for(int i=size/2 - 1; i >= 0; i--)  // 对每一个非叶结点进行堆调整(从最后一个非叶结点开始)
    {
        adjust(arr, size, i);
    }
    for(int i = size - 1; i >= 1; i--)
    {
        swap(arr[0], arr[i]);           // 将当前最大的放置到数组末尾
        adjust(arr, i, 0);              // 将未完成排序的部分继续进行堆排序
    }
}

int main()
{
    int array[8] = {8, 1, 14, 3, 21, 5, 7, 10};
    heapSort(array, 8);
    for(auto it: array)
    {
        cout<<it<<endl;
    }
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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为何堆排序是不稳定排序?

当数组中有相等元素时，堆排序算法对这些元素的处理方法不止一种，故是不稳定的。

可重载比较函数的写法:

#include<memory.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void swap(void* x, void* y, size_t sz) {
    void* t = malloc(sz);
    memcpy(t, x, sz);
    memcpy(x, y, sz);
    memcpy(y, t, sz);
    free(t);
}
void makeHeap(void* x, int i, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {
    char* y = (char*)x;
    int l = 2 * i + 1;
    int r = 2 * i + 2;
    int m;
    if (l<n && (*cmp)(y + l*sz, y + i*sz)>0) m = l;
    else m = i;
    if (r<n && (*cmp)(y + r*sz, y + m*sz)>0) m = r;
    if (m != i){
        swap(y + i*sz, y + m*sz, sz);
        makeHeap(x, m, n, sz, cmp);
    }
}
void buildHeap(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) makeHeap(x, i, n, sz, cmp);
}
void heapSort(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {
    buildHeap(x, n, sz, cmp);
    char* y = (char*)x;
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--){
        swap(y, y + i*sz, sz);
        makeHeap(x, 0, --n, sz, cmp);
    }
}

void p(int* x,int n){
    for (int k = 0; k < n; k++){
        printf("%d ", x[k]);
    }
    printf("\n");
}

int less(const void* a, const void* b){
    return *((int*)a) < *((int*)b);
}
int greater(const void* a, const void* b){
    return *((int*)a) > *((int*)b);
}
int main(){
    int x[] = { 2, 3, 4, 6, 8, 2, 9, 0 };
    // 降序全排列
    heapSort(x, 8, sizeof(int), less);
    p(x, 8);
    // 升序全排列
    heapSort(x, 8, sizeof(int), greater);
    p(x, 8);
    // 最大的4个元素，在数组末尾
    heapSort(x, 4, sizeof(int), less);
    p(x, 8);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
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