[问题2014A04] 解答

[问题2014A04]  解答

(1) 由条件可得 $AB+BA=0$, 即 $AB=-BA$, 因此 

$$AB=A^2B=A(AB)=A(-BA)=-(AB)A=-(-BA)A=BA^2=BA,$$ 从而 $AB=BA=0$.

(2) 由条件可得 $0=B(AB)^kA=(BA)^{k+1}$, 因此

$$(I_n-BA)\Big(I_n+BA+\cdots+(BA)^k\Big)=I_n,$$ 从而 $I_n-BA$ 可逆.

(3) 我们给出此小题的三种解法.

解法一（凑因子法）

凑因子法即为将 $A-BD^{-1}C$ 的逆阵给凑出来, 方法的关键就是不断地变形, 凑出 $A-BD^{-1}C$ 这个因子. 我们将分成若干个步骤对这一典型例题加以说明.

先设 $H=(D-CA^{-1}B)^{-1}$, 则

$$(D-CA^{-1}B)H=I_n. \cdots(1)$$ (1) 式是我们的出发点, 接下来就开始变形了. 我们的目标是凑出 $A-BD^{-1}C$, 所以需要的是 $D^{-1}$, 而不是 $D$, 于是 (1) 式两边同时左乘 $D^{-1}$ 可得 $$(I_n-D^{-1}CA^{-1}B)H=D^{-1}. \cdots(2)$$ 为了凑出 $A-BD^{-1}C$, 在 (2) 式两边同时左乘 $B$ 右乘 $C$ 可得 $$BHC-BD^{-1}CA^{-1}BHC=BD^{-1}C. \cdots(3)$$ (3) 式左边提出公因子 $A^{-1}BHC$, 右边的 $BD^{-1}C$ 移到左边, 并且两边同时加上 $A$ 以凑出 $A-BD^{-1}C$, 可得 $$(A-BD^{-1}C)A^{-1}BHC+(A-BD^{-1}C)=A. \cdots(4)$$ 将 (4) 式左边的公因子 $A-BD^{-1}C$ 提出, 并将两边同时右乘 $A^{-1}$ 可得 $$(A-BD^{-1}C)\Big(I_n+A^{-1}BHC\Big)A^{-1}=I_n. \cdots(5)$$ 由 (5) 式即得 $$(A-BD^{-1}C)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}BHCA^{-1}=A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}.\,\,\Box$$

解法二（利用已证结论）

上课时我证明过以下结论:

若 $I_n-AB$ 可逆, 则 $I_n-BA$ 也可逆, 且 $(I_n-BA)^{-1}=I_n+B(I_n-AB)^{-1}A$.

当时我用了凑因子法和幂级数展开+验证法这两种方法去证明上述结论, 而且这个结论也是本小题的特例. 由降阶公式易证 $|A-BD^{-1}C|\neq 0$, 因此 $A-BD^{-1}C$ 非异. 我们进行如下的变形：

$$(A-BD^{-1}C)^{-1}=\Big(A(I_n-A^{-1}BD^{-1}C)\Big)^{-1}=(I_n-A^{-1}BD^{-1}C)^{-1}A^{-1}.$$ 将 $A^{-1}B$ 与 $D^{-1}C$ 分别看成两个整体, 利用上述结论可得

$$(A-BD^{-1}C)^{-1}=\Big(I_n+A^{-1}B(I_n-D^{-1}CA^{-1}B)^{-1}D^{-1}C\Big)A^{-1}$$

$$=\Big(I_n+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}C\Big)A^{-1}=A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}.\,\,\Box$$

解法三（分块初等变换法）

按照课本上降阶公式的证法, 分块矩阵 $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 可以通过分块初等变换变为分块对角阵 $\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{bmatrix}$ 以及 $\begin{bmatrix} A-BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix}$. 用分块初等阵的乘法去改写上述过程即有

$$\begin{bmatrix} I_n & 0 \\ -CA^{-1} & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{bmatrix},$$

$$\begin{bmatrix} I_n & -BD^{-1} \\ 0 & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n & 0 \\ -D^{-1}C & I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A-BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix}.$$

因此我们有

$$\begin{bmatrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_n & 0 \\ D^{-1}C & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} I_n & BD^{-1} \\ 0 & I_n \end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix} I_n & 0 \\ D^{-1}C & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n & -A^{-1}B \\ 0 & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n & 0 \\ -CA^{-1} & I_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_n & BD^{-1} \\ 0 & I_n \end{bmatrix}$$

$$=\begin{bmatrix} A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{bmatrix},$$

从而 $(A-BD^{-1}C)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}$. $\,\,\Box$