详解DBSCAN聚类算法并基于python实现_dbscan聚类算法的效果

DBSCAN聚类算法详解

DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise)是一种无监督的ML聚类算法，是一个比较有代表性的基于密度的聚类算法。与划分和层次聚类方法不同，它将簇定义为密度相连的点的最大集合，能够把具有足够高密度的区域划分为簇，并可在噪声的空间数据库中发现任意形状的聚类。

对比KMeans算法，KMeans算法特别受超参数K的影响，当给定的簇数K与实际情况不符时得到的聚类结果存在较大差异。并且当KMeans算法遍历质心时，在达到稳定性和收敛性之前，离群值（异常值）对质心的移动方式有显著的影响。K-Means只能应用球形簇，如果数据不是球形的，它的准确性就会受到影响。

不同于KMeans算法，DBSCAN不需要指定聚类的簇数，并且不容易受到异常值的影响。DBSCAN算法认为同一类别的样本，他们之间的紧密相连的，也就是说，在该类别任意样本周围不远处一定有同类别的样本存在。选择一个样本作为起始，将与其紧密相连的样本划为一类，这样就得到了一个聚类类别。然后再从未被分类的样本中选择一个点，将与其紧密相连的样本划为一类，重复此过程直到所有的样本都被划分完毕。

图1. KMeans与DBSCAN聚类效果对比

DBSCAN聚类算法有两个核心参数

• Epsilon (ɛ)：邻域的最大半径。如果任意两个样本之间的相互距离小于或等于指定的epsilon，那么它们将是同一类的。
• 核心对象数(minPts)：在一个邻域的半径内最少需要包含的样本数，如果一个邻域的半径epsilon内的相邻样本数大于minPts数则被认为是一个簇，否则将被舍弃。（初始点包含在minPts中）。

epsilon和minPts都被用于控制集群分割的大小，更大的epsilon将产生更大的簇(包含更多的数据点)，更小的epsilon将构建更小的簇。通常采用较小的epsilon值会有比较好的聚类效果，因为通常只需要很小一部分的数据点在彼此之间的距离内。但epsilon也不能太小，如果太小最终聚类的集群会很小，不具有参考价值。对于minPts值，一个较低的minPts帮助算法建立更多的集群与更多的噪声或离群值。较高的minPts将确保更健壮的集群，但如果集群太大，较小的集群将被合并到较大的集群中。

其他概念

• 密度相连（也叫密度直达）。如果样本y位于样本x的epsilon邻域中，且x是核心对象数大于minPts，此时则称y由x密度直达。注意反之不一定成立，即此时不能说x由y密度直达, 除非且y在epsilon邻域的核心对象数也大于minPts。
• 密度可达。对于样本x，样本y，如果存在样例p1,p2,…,pn,其中，p1=x,pn=y,且序列中每一个样本都与它的前一个样本密度直达，则称样本x与y密度可达。此时序列中的传递样本p1,p2,…,pT−1p1,p2,…,pT−1均为核心对象，因为只有核心对象才能使其他样本密度直达。注意密度可达也不满足对称性，这个可以由密度直达的不对称性得出。
• 密度相连。对于样本x和样本y，若存在样本k使得x与k密度可达，且k与y密度可达，则a与b密度相连。

图2. 密度直达，密度可达，密度相连

假设核心数设置为5，左图中，P1到P2密度直达，但是P2到P1不满足密度直达，因为P2的核心数为3不满足最小核心数。同理中间图中，P1到P3密度可达，反之不成立。右图中通过P3作为中转，可实现P1与P5密度相连。

DBSCAN算法流程

假设min_points等于4.

• （1） 选取一个点，以eps为半径，画一个圈，看圈内有几个临近点？如果大于某个阈值min_points, 则认为该点为某一簇的点。如果小于 min_points，则被标记为噪声点，然后处理下一个点。

• （2）将临近点作为种子点seeds = [4,7,9,10]。遍历所有种子点，如果该点被标为噪声点，则重标为聚类点。如果该点没有被标记过，则标记为聚类点。并且以该点为圆心，以eps为半径 画圈，如果圈内点大于min_points，将圈内点，添加到种子点中seeds = [4,7,9,10,1,7,9,16]。
  

• (3) 重复步骤2，直到遍历完所有的种子点seeds = [4,7,9,10,1,7,9,16]。

  • seeds = [4,7,9,10,1,7,9,16]。7的周围有 12， 4 少于 min_points，所以seed 不扩展。
  • seeds = [4,7,9,10,1,7,9,16]，9的周围1,4,3 ,可以添加。seeds = [4,7,9,10,1,7,9,16,1,4,3]。
  • 10的周围，1,6,7，seeds = [4,7,9,10,1,7,9,16,1,4,3,1,6,7]
  • … … … … … … … … …
    

• (4) 标记完一 簇后寻找一个未被标记的点，开始新的一轮聚类.如果找到点5 ，周围点过少标记为 NOISE,找到点15， 周围点过少，标记为NOISE，找到点 19 开始新的一轮聚类。
  

DBSCAN算法基于python实现

导入相关包

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn import metrics
1
2
3
4
5
6

计算两点之间的距离

# 计算数据点两两之间的距离
def getDistanceMatrix(datas):
    N,D = np.shape(datas)
    dists = np.zeros([N,N])
    
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            vi = datas[i,:]
            vj = datas[j,:]
            dists[i,j]= np.sqrt(np.dot((vi-vj),(vi-vj)))
    return dists
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
'
运行
运行

寻找以点cluster_id 为中心，eps 为半径的圆内的所有点的id

#  寻找以点cluster_id 为中心，eps 为半径的圆内的所有点的id
def find_points_in_eps(point_id,eps,dists):
    index = (dists[point_id]<=eps)
    return np.where(index==True)[0].tolist()
1
2
3
4
'
运行
运行

聚类扩充过程（步骤2）

# 聚类扩展
# dists ： 所有数据两两之间的距离  N x N
# labs :   所有数据的标签 labs N，
# cluster_id ： 一个簇的标号
# eps ： 密度评估半径
# seeds： 用来进行簇扩展的点
# min_points： 半径内最少的点数
def expand_cluster(dists, labs, cluster_id, seeds, eps, min_points):
    i = 0
    while i< len(seeds):
        # 获取一个临近点
        Pn = seeds[i]
        # 如果该点被标记为NOISE 则重新标记
        if labs[Pn] == NOISE:
            labs[Pn] = cluster_id
        # 如果该点没有被标记过
        elif labs[Pn] == UNCLASSIFIED:
            # 进行标记，并计算它的临近点 new_seeds
            labs[Pn] = cluster_id
            new_seeds = find_points_in_eps(Pn,eps,dists)
            
            # 如果 new_seeds 足够长则把它加入到seed 队列中
            if len(new_seeds) >=min_points:
                seeds = seeds + new_seeds
        
        i = i+1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
'
运行
运行

DBSCAN算法

def dbscan(datas, eps, min_points):    
    # 计算 所有点之间的距离
    dists = getDistanceMatrix(datas)  
    
    # 将所有点的标签初始化为UNCLASSIFIED
    n_points = datas.shape[0]
    labs = [UNCLASSIFIED]*n_points
    
    cluster_id = 0
    # 遍历所有点
    for point_id in range(0, n_points):
        # 如果当前点已经处理过了
        if not(labs[point_id] == UNCLASSIFIED):
            continue        
        # 没有处理过则计算临近点
        seeds = find_points_in_eps(point_id,eps,dists)
        # 如果临近点数量过少则标记为 NOISE
        if len(seeds)<min_points:
            labs[point_id] = NOISE
        else:
            # 否则就开启一轮簇的扩张
            cluster_id = cluster_id+1
            # 标记当前点
            labs[point_id] = cluster_id
            expand_cluster(dists, labs, cluster_id, seeds,eps, min_points)
    return labs, cluster_id
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
'
运行
运行

绘图 可视化

# 绘图    
def draw_cluster(datas,labs, n_cluster):     
    plt.cla()
    
    colors = [plt.cm.Spectral(each)
          for each in np.linspace(0, 1,n_cluster)]
    
    
    for i,lab in enumerate(labs):
        if lab ==NOISE:
            plt.scatter(datas[i,0],datas[i,1],s=16.,color=(0,0,0))
        else:
            plt.scatter(datas[i,0],datas[i,1],s=16.,color=colors[lab-1])
    plt.show()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
'
运行
运行

主函数入口

if __name__== "__main__":
     
    ## 数据
    file_name = "spiral"
    with open(file_name+".txt","r",encoding="utf-8") as f:
        lines = f.read().splitlines()
    lines = [line.split("\t")[:-1] for line in lines]
    datas = np.array(lines).astype(np.float32)  
    # 数据正则化
    datas = StandardScaler().fit_transform(datas)
    eps = 0.45
    min_points = 5
    labs, cluster_id = dbscan(datas, eps=eps, min_points=min_points)
    print("labs of my dbscan")
    print(labs)
    ## 使用sklearn的DBSCAN工具包
    db = DBSCAN(eps=eps, min_samples=min_points).fit(datas)
    skl_labels = db.labels_
    print("labs of sk-DBSCAN")
    print(skl_labels)        
    draw_cluster(datas,labs, cluster_id)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

聚类效果如下图所示

实验数据如下，可自行copy，注意要修改名字

数据1

31.95	7.95	3
31.15	7.3	3
30.45	6.65	3
29.7	6	3
28.9	5.55	3
28.05	5	3
27.2	4.55	3
26.35	4.15	3
25.4	3.85	3
24.6	3.6	3
23.6	3.3	3
22.75	3.15	3
21.85	3.05	3
20.9	3	3
20	2.9	3
19.1	3	3
18.2	3.2	3
17.3	3.25	3
16.55	3.5	3
15.7	3.7	3
14.85	4.1	3
14.15	4.4	3
13.4	4.75	3
12.7	5.2	3
12.05	5.65	3
11.45	6.15	3
10.9	6.65	3
10.3	7.25	3
9.7	7.85	3
9.35	8.35	3
8.9	9.05	3
8.55	9.65	3
8.15	10.35	3
7.95	10.95	3
7.75	11.7	3
7.55	12.35	3
7.45	13	3
7.35	13.75	3
7.3	14.35	3
7.35	14.95	3
7.35	15.75	3
7.55	16.35	3
7.7	16.95	3
7.8	17.55	3
8.05	18.15	3
8.3	18.75	3
8.65	19.3	3
8.9	19.85	3
9.3	20.3	3
9.65	20.8	3
10.2	21.25	3
10.6	21.65	3
11.1	22.15	3
11.55	22.45	3
11.95	22.7	3
12.55	23	3
13.05	23.2	3
13.45	23.4	3
14	23.55	3
14.55	23.6	3
15.1	23.75	3
15.7	23.75	3
16.15	23.85	3
16.7	23.8	3
17.15	23.75	3
17.75	23.75	3
18.2	23.6	3
18.65	23.5	3
19.1	23.35	3
19.6	23.15	3
20	22.95	3
20.4	22.7	3
20.7	22.55	3
21	22.15	3
21.45	21.95	3
21.75	21.55	3
22	21.25	3
22.25	21	3
22.5	20.7	3
22.65	20.35	3
22.75	20.05	3
22.9	19.65	3
23	19.35	3
23.1	19	3
23.15	18.65	3
23.2	18.25	3
23.2	18.05	3
23.2	17.8	3
23.1	17.45	3
23.05	17.15	3
22.9	16.9	3
22.85	16.6	3
22.7	16.4	3
22.6	16.2	3
22.55	16.05	3
22.4	15.95	3
22.35	15.8	3
22.2	15.65	3
22.15	15.55	3
22	15.4	3
21.9	15.3	3
21.85	15.25	3
21.75	15.15	3
21.65	15.05	3
21.55	15	3
21.5	14.9	3
19.35	31.65	1
20.35	31.45	1
21.35	31.1	1
22.25	30.9	1
23.2	30.45	1
23.95	30.05	1
24.9	29.65	1
25.6	29.05	1
26.35	28.5	1
27.15	27.9	1
27.75	27.35	1
28.3	26.6	1
28.95	25.85	1
29.5	25.15	1
29.95	24.45	1
30.4	23.7	1
30.6	22.9	1
30.9	22.1	1
31.25	21.3	1
31.35	20.55	1
31.5	19.7	1
31.55	18.9	1
31.65	18.15	1
31.6	17.35	1
31.45	16.55	1
31.3	15.8	1
31.15	15.05	1
30.9	14.35	1
30.6	13.65	1
30.3	13	1
29.9	12.3	1
29.5	11.75	1
29	11.15	1
28.5	10.6	1
28	10.1	1
27.55	9.65	1
26.9	9.1	1
26.25	8.8	1
25.7	8.4	1
25.15	8.05	1
24.5	7.75	1
23.9	7.65	1
23.15	7.4	1
22.5	7.3	1
21.9	7.1	1
21.25	7.05	1
20.5	7	1
19.9	6.95	1
19.25	7.05	1
18.75	7.1	1
18.05	7.25	1
17.5	7.35	1
16.9	7.6	1
16.35	7.8	1
15.8	8.05	1
15.4	8.35	1
14.9	8.7	1
14.45	8.9	1
13.95	9.3	1
13.6	9.65	1
13.25	10.1	1
12.95	10.55	1
12.65	10.9	1
12.35	11.4	1
12.2	11.75	1
11.95	12.2	1
11.8	12.65	1
11.75	13.05	1
11.55	13.6	1
11.55	14	1
11.55	14.35	1
11.55	14.7	1
11.6	15.25	1
11.65	15.7	1
11.8	16.05	1
11.85	16.5	1
12	16.75	1
12.15	17.2	1
12.3	17.6	1
12.55	17.85	1
12.8	18.05	1
13.1	18.4	1
13.3	18.6	1
13.55	18.85	1
13.8	19.05	1
14.15	19.25	1
14.45	19.5	1
14.85	19.55	1
15	19.7	1
15.25	19.7	1
15.55	19.85	1
15.95	19.9	1
16.2	19.9	1
16.55	19.9	1
16.85	19.9	1
17.2	19.9	1
17.4	19.8	1
17.65	19.75	1
17.8	19.7	1
18	19.6	1
18.2	19.55	1
3.9	9.6	2
3.55	10.65	2
3.35	11.4	2
3.1	12.35	2
3.1	13.25	2
3.05	14.15	2
3	15.1	2
3.1	16	2
3.2	16.85	2
3.45	17.75	2
3.7	18.7	2
3.95	19.55	2
4.35	20.25	2
4.7	21.1	2
5.15	21.8	2
5.6	22.5	2
6.2	23.3	2
6.8	23.85	2
7.35	24.45	2
8.05	24.95	2
8.8	25.45	2
9.5	26	2
10.2	26.35	2
10.9	26.75	2
11.7	27	2
12.45	27.25	2
13.3	27.6	2
14.05	27.6	2
14.7	27.75	2
15.55	27.75	2
16.4	27.75	2
17.1	27.75	2
17.9	27.75	2
18.55	27.7	2
19.35	27.6	2
20.1	27.35	2
20.7	27.1	2
21.45	26.8	2
22.05	26.5	2
22.7	26.15	2
23.35	25.65	2
23.8	25.3	2
24.3	24.85	2
24.75	24.35	2
25.25	23.95	2
25.65	23.45	2
26.05	23	2
26.2	22.3	2
26.6	21.8	2
26.75	21.25	2
27	20.7	2
27.15	20.15	2
27.15	19.6	2
27.35	19.1	2
27.35	18.45	2
27.4	18	2
27.3	17.4	2
27.15	16.9	2
27	16.4	2
27	15.9	2
26.75	15.35	2
26.55	14.85	2
26.3	14.45	2
25.95	14.1	2
25.75	13.7	2
25.35	13.3	2
25.05	12.95	2
24.8	12.7	2
24.4	12.45	2
24.05	12.2	2
23.55	11.85	2
23.2	11.65	2
22.75	11.4	2
22.3	11.3	2
21.9	11.1	2
21.45	11.05	2
21.1	11	2
20.7	10.95	2
20.35	10.95	2
19.95	11	2
19.55	11	2
19.15	11.05	2
18.85	11.1	2
18.45	11.25	2
18.15	11.35	2
17.85	11.5	2
17.5	11.7	2
17.2	11.95	2
17	12.05	2
16.75	12.2	2
16.65	12.35	2
16.5	12.5	2
16.35	12.7	2
16.2	12.8	2
16.15	12.95	2
16	13.1	2
15.95	13.25	2
15.9	13.4	2
15.8	13.5	2
15.8	13.65	2
15.75	13.85	2
15.65	14.05	2
15.65	14.25	2
15.65	14.5	2
15.65	14.6	2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312

数据2

1.85	27.8	1
1.35	26.65	1
1.4	23.25	2
0.85	23.05	2
0.5	22.35	2
0.65	21.35	2
1.1	22.05	2
1.35	22.65	2
1.95	22.8	2
2.4	22.45	2
1.8	22	2
2.5	21.85	2
2.95	21.4	2
1.9	21.25	2
1.35	21.45	2
1.35	20.9	2
1.25	20.35	2
1.75	20.05	2
2	20.6	2
2.5	21	2
1.7	19.05	2
2.4	20.05	2
3.05	20.45	2
3.7	20.45	2
3.45	19.9	2
2.95	19.5	2
2.4	19.4	2
2.4	18.25	2
2.85	18.75	2
3.25	19.05	2
3.95	19.6	2
2.7	17.8	2
3.45	18.05	2
3.8	18.55	2
4	19.1	2
4.45	19.9	2
4.65	19.15	2
4.85	18.45	2
4.3	18.05	2
3.35	17.3	2
3.7	16.3	2
4.4	16.95	2
4.25	17.4	2
4.8	17.65	2
5.25	18.25	2
5.75	18.55	2
5.3	19.25	2
6.05	19.55	2
6.5	18.9	2
6.05	18.2	2
5.6	17.8	2
5.45	17.15	2
5.05	16.55	2
4.55	16.05	2
4.95	15.45	2
5.85	14.8	2
5.6	15.3	2
5.65	16	2
5.95	16.8	2
6.25	16.4	2
6.1	17.45	2
6.6	17.65	2
6.65	18.3	2
7.3	18.35	2
7.85	18.3	2
7.15	17.8	2
7.6	17.7	2
6.7	17.25	2
7.3	17.25	2
6.7	16.8	2
7.3	16.65	2
6.75	16.3	2
7.4	16.2	2
6.55	15.75	2
7.35	15.8	2
6.8	14.95	2
7.45	15.1	2
6.85	14.45	2
7.6	14.6	2
8.55	14.65	2
8.2	15.5	2
7.9	16.1	2
8.05	16.5	2
7.8	17	2
8	17.45	2
8.4	18.1	2
8.65	17.75	2
8.9	17.1	2
8.4	17.1	2
8.65	16.65	2
8.45	16.05	2
8.85	15.35	2
9.6	15.3	2
9.15	16	2
10.2	16	2
9.5	16.65	2
10.75	16.6	2
10.45	17.2	2
9.85	17.1	2
9.4	17.6	2
10.15	17.7	2
9.85	18.15	2
9.05	18.25	2
9.3	18.7	2
9.15	19.15	2
8.5	18.8	2
11.65	17.45	2
11.1	17.65	2
10.4	18.25	2
10	18.95	2
11.95	18.25	2
11.25	18.4	2
10.6	18.9	2
11.15	19	2
11.9	18.85	2
12.6	18.9	2
11.8	19.45	2
11.05	19.45	2
10.3	19.4	2
9.9	19.75	2
10.45	20	2
13.05	19.9	2
12.5	19.75	2
11.9	20.05	2
11.2	20.25	2
10.85	20.85	2
11.4	21.25	2
11.7	20.6	2
12.3	20.45	2
12.95	20.55	2
12.55	20.95	2
12.05	21.25	2
11.75	22.1	2
12.25	21.85	2
12.8	21.5	2
13.55	21	2
13.6	21.6	2
12.95	22	2
12.5	22.25	2
12.2	22.85	2
12.7	23.35	2
13	22.7	2
13.55	22.2	2
14.05	22.25	2
14.2	23.05	2
14.1	23.6	2
13.5	22.8	2
13.35	23.5	2
13.3	24	2
7.3	19.15	2
7.95	19.35	2
7.7	20.05	2
6.75	19.9	2
5.25	20.35	2
6.15	20.7	1
7	20.7	1
7.6	21.2	1
8.55	20.6	1
9.35	20.5	1
8.3	21.45	1
7.9	21.6	1
7.15	21.75	1
6.7	21.3	1
5.2	21.1	2
6.2	21.95	1
6.75	22.4	1
6.15	22.5	1
5.65	22.2	1
4.65	22.55	1
4.1	23.45	1
5.35	22.8	1
7.4	22.6	1
7.75	22.1	1
8.5	22.3	1
9.3	22	1
9.7	22.95	1
8.8	22.95	1
8.05	22.9	1
7.6	23.15	1
6.85	23	1
6.2	23.25	1
5.7	23.4	1
5.1	23.55	1
4.55	24.15	1
5.5	24	1
6.1	24.05	1
6.5	23.6	1
6.75	23.95	1
7.3	23.75	1
8.3	23.4	1
8.9	23.7	1
9.55	23.65	1
10.35	24.1	1
7.95	24.05	1
3.95	24.4	1
3.75	25.25	1
3.9	25.95	1
4.55	26.65	1
5.25	26.75	1
6.5	27.6	1
7.45	27.6	1
8.35	27.35	1
9.25	27.2	1
9.95	26.5	1
10.55	25.6	1
9.9	24.95	1
9.2	24.5	1
8.55	24.2	1
8.8	24.8	1
9.2	25.35	1
9.55	26.05	1
9.05	26.6	1
8.8	25.8	1
8.15	26.35	1
8.05	25.8	1
8.35	25.2	1
7.9	25.3	1
8.05	24.7	1
7.3	24.4	1
7.55	24.85	1
6.85	24.45	1
6.25	24.65	1
5.55	24.5	1
4.65	25.1	1
5	25.55	1
5.55	26.1	1
5.55	25.25	1
6.2	25.2	1
6.8	25.05	1
7.4	25.25	1
6.65	25.45	1
6.15	25.8	1
6.5	26.1	1
6.6	26.6	1
7.7	26.65	1
7.5	26.2	1
7.5	25.65	1
7.05	25.85	1
6.9	27.15	1
6.15	26.9	1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240

数据3

15.55	28.65	2
14.9	27.55	2
14.45	28.35	2
14.15	28.8	2
13.75	28.05	2
13.35	28.45	2
13	29.15	2
13.45	27.5	2
13.6	26.5	2
12.8	27.35	2
12.4	27.85	2
12.3	28.4	2
12.2	28.65	2
13.4	25.1	2
12.95	25.95	2
12.9	26.5	2
11.85	27	2
11.35	28	2
11.15	28.7	2
11.25	27.4	2
10.75	27.7	2
10.5	28.35	2
9.65	28.45	2
10.25	27.25	2
10.75	26.55	2
11.7	26.35	2
11.6	25.9	2
11.9	25.05	2
12.6	24.05	2
11.9	24.5	2
11.1	25.2	2
10.55	25.15	2
10.05	25.95	2
9.35	26.6	2
9.3	27.25	2
9.2	27.8	2
7.5	28.25	2
8.55	27.45	2
8.5	27.05	2
8.05	27.2	2
7.85	26.8	2
7.3	27.4	2
6.8	26.85	2
7	26.5	2
7.55	26.3	2
8.55	26.3	2
9	25.85	2
8.6	25.65	2
9.4	25.55	2
8.45	25.05	2
8.85	24.6	2
9.65	24.7	2
10.55	24.35	2
11.05	23.9	2
10.55	23.55	2
9.45	23.35	2
9.2	23.9	2
8.35	23.9	2
7.35	24.75	2
7.4	25.45	2
6.6	25.75	2
6.1	26	2
5.8	26.95	2
5.65	25.8	2
5.3	26.1	2
6.4	25.4	2
5.4	25.25	2
5.35	24.7	2
4.8	25.05	2
4.2	25.55	2
6.4	24.8	2
6.55	24.3	2
7.4	24.25	2
5.45	24.2	2
4.3	24	2
4	24.25	2
3.35	23.3	2
4.85	23.05	2
4.3	22.75	2
5.85	23.4	2
5.9	23.55	2
7.55	23.7	2
6.85	23.25	2
7.65	23.1	2
6.95	22.55	2
6.1	22.6	2
5.5	22.6	2
4.7	22.1	2
3.8	21.85	2
4.65	21.2	2
4.15	20.35	2
5.3	20.4	2
5.6	20.75	2
5.8	21.95	2
6.4	21.95	2
6.55	21.15	2
7.45	21.95	2
7.4	21.55	2
7.75	21.2	2
7.65	20.65	2
6.95	19.8	2
6.6	20.1	2
6.05	20.2	2
5.4	19.65	2
5.35	19.05	2
5.8	18.25	2
6.3	19.1	2
7	18.9	2
7.15	17.9	2
7.35	18.2	2
8.2	20.05	2
8.3	19.45	2
8.3	18.5	2
8.75	18.8	2
9.05	18.2	2
9.35	17.7	2
8.9	17.65	2
8.45	17.2	2
10.05	17.2	2
10.4	16.75	2
8.6	20.9	2
8.65	21.3	2
8.65	21.9	2
8.65	22.5	2
8.95	22.8	2
9.95	22.65	2
8.95	22.2	2
9.65	21.9	2
10.55	22.3	2
10.9	22.85	2
11.35	23.45	2
12.05	23.4	2
12.3	22.75	2
11.7	22.15	2
11.15	22.05	2
10.85	21.5	2
10.85	21.05	2
9.6	21.3	2
9.85	20.7	2
9.35	20.6	2
9.25	19.65	2
9.95	19.8	2
10.7	20.35	2
11.3	20.7	2
12.35	21.6	2
13.1	21.3	2
12.85	20.75	2
12	20	2
11	19.85	2
10.35	19	2
9.9	18.65	2
10.6	18.15	2
11.4	18.3	2
11.4	19.25	2
12.35	18.8	2
12.8	19.75	2
12.15	18.1	2
11.05	17.5	2
11.95	17.25	2
12.25	17.5	2
13.05	17.4	2
13.75	18.15	2
13.5	18.65	2
13.65	19.25	2
14	19.9	2
15.2	18.2	2
15.5	17.15	2
13.9	17.1	2
13.75	16.6	2
12.15	16.4	2
7.8	13.7	7
8.85	13.35	7
9	12.7	7
9.7	12.1	7
8.05	12.9	7
7.7	13.25	7
6.8	13.2	7
6.6	13.45	7
6.2	12.55	7
5.4	12.85	7
5.7	12.25	7
5.2	11.9	7
5.15	11.35	7
5.85	11.2	7
6.1	11.75	7
7	12.35	7
7.05	12.45	7
7.9	12.5	7
8.55	12.1	7
7.85	11.85	7
7.1	11.95	7
6.9	11.5	7
6.85	10.9	7
6.4	10.7	7
5.9	10.3	7
6.4	10.25	7
7.05	10.05	7
7.35	10.5	7
7.65	11.1	7
8.1	11.2	7
8.8	11.4	7
8.3	10.55	7
9	10.9	7
9.35	10.5	7
10.15	11	4
10.4	10.55	4
10.9	10	4
11.55	10.2	4
11.75	10.85	4
10.1	8.65	4
11.05	9.1	4
11.85	9.8	4
12.85	10.65	4
12.9	11.7	4
13.6	11.1	4
14.05	11.75	4
14.5	11.8	4
14.3	12.45	4
17	12.9	4
15.8	12.6	4
15.85	12	4
16.7	12.2	4
16.25	11.7	4
15.55	11.15	4
14.8	11.35	4
14.45	10.75	4
13.75	10.45	4
12.8	10.1	4
13.15	9.8	4
12.45	9.3	4
11.8	8.95	4
11.1	8.45	4
10.35	7.7	4
10.1	6.75	4
11.3	7.95	4
12.35	8.45	4
13.1	8.95	4
13.2	9.35	4
14.1	10.05	4
11.5	7.5	4
11.35	6.9	4
11.95	6.75	4
12.4	7.1	4
12.25	7.6	4
12.95	7.6	4
13.45	7.95	4
13.35	8.25	4
13.75	9	4
14.3	9.3	4
14.85	9.55	4
15.1	10.25	4
15.45	10.55	4
16.35	10.85	4
16.75	11.5	4
16.25	10.2	4
15.4	10.1	4
15.45	9.7	4
15.15	9.3	4
15.25	8.65	4
15.55	8.2	4
14.25	8.7	4
14.25	8.25	4
15.05	7.8	4
14.3	7.5	4
13.55	7.45	4
14.3	6.95	4
13.95	6.7	4
13.05	6.95	4
13.05	6.2	4
11.55	6.3	4
10.8	5.85	4
10.6	5.05	4
11.35	5.55	4
12.15	5.4	4
12.4	5.8	4
12.8	5.7	4
13.65	5.9	4
13.9	5.3	4
13.1	5.1	4
12.55	4.9	4
11.5	4.75	4
11.35	4.05	4
12.4	4.35	4
11.75	3.45	4
12.65	3.7	4
13.4	4.35	4
13.9	4.95	4
12.75	3	4
13.55	3.15	4
13.7	3.65	4
14.1	4.1	4
14.65	5.05	4
14.35	5.75	4
14.5	6.55	4
15.15	7.1	4
13.6	2.55	4
14.45	2.4	4
14.6	3.05	4
15	3.4	4
15.25	3.5	4
14.7	4.1	4
14.7	4.5	4
15.25	2.7	4
15.65	2.05	4
15.95	2.8	4
16.1	3.55	4
15.9	4	4
15.6	4.75	4
15.55	5.05	4
15.35	5.5	4
15.15	5.95	4
15.5	6.75	4
15.7	6.35	4
16.2	5.9	4
16.35	5.35	4
16.2	4.55	4
16.55	4.2	4
16.95	4.75	4
17.05	5.1	4
17.3	4.8	4
17.3	4.15	4
17.6	4.3	4
17.05	3.7	4
17.25	3.05	4
16.65	2.8	4
16.55	2.15	4
17.2	2.05	4
18.15	1.95	4
18.05	2.45	4
18.15	3.05	4
18.6	3.45	4
18.4	3.6	4
18.85	3.2	4
19.1	2.65	4
19.45	2.65	4
19	2.1	4
19.9	2.05	4
20.45	2.8	4
19.8	3.25	4
19.45	3.9	4
18.65	4.2	4
18.4	4.6	4
18.65	4.75	4
18.75	5.15	4
19.1	4.55	4
17.9	5.4	4
17.65	5.7	4
17.05	6.05	4
17.4	6.5	4
16.6	6.85	4
15.7	7.15	4
15.75	7.75	4
16.6	7.95	4
20.4	3.4	4
20.7	3.45	4
21.15	2.85	4
21.75	2.65	4
22	3.25	4
22.2	3.5	4
21.45	3.75	4
21.1	4.05	4
20.15	4.3	4
20.8	4.7	4
20.7	5.15	4
19.75	5.05	4
19.85	5.5	4
20.4	5.65	4
20.55	5.75	4
18.7	5.75	4
19.25	5.95	4
18.4	6	4
18.45	6.6	4
17.65	7.05	4
16.7	7.4	4
18.65	7.3	4
18.05	7.35	4
17.85	7.75	4
17.5	8.25	4
17.15	8.6	4
17.05	9	4
16.4	8.7	4
16.05	8.95	4
16.05	9.6	4
16.5	9.75	4
17.25	9.6	4
17.6	9.9	4
17.8	9.3	4
18	8.55	4
18.8	8.1	4
18.8	8.35	4
19.4	7.6	4
19.25	6.6	4
20.05	6.95	4
19.8	7.5	4
20.05	6.35	4
21.15	5.7	4
21.65	4.85	4
22.15	4.35	4
23.05	3.35	4
23.05	3.8	4
23.15	4.4	4
22.5	4.75	4
22.15	5.2	4
24.15	4.55	4
23.5	5.05	4
23.1	5.3	4
23	5.75	4
22.2	5.75	4
21.85	6.2	4
20.75	6.55	4
21	7.15	4
20.75	7.65	4
20	8.2	4
19.5	8.65	4
18.85	9.05	4
18.75	9.55	4
18.6	10	4
16.95	10.35	4
17.35	10.85	4
18	10.65	4
18.5	10.55	4
18.1	11.1	4
17.55	11.3	4
17.95	11.9	4
18.3	12	4
18	12.5	4
19	11.65	4
19.5	11.05	4
19.45	10.55	4
19.4	9.65	4
20.1	9.4	4
20.05	9.95	4
20.05	10.2	4
19.35	12.2	4
19.2	12.25	4
20.05	11.6	4
20.6	11.15	4
20.7	10.65	4
21.3	11.65	4
21.8	11.15	4
21.85	10.7	4
21.65	10.05	4
20.95	10.2	4
20.9	9.7	4
21.65	9.45	4
21.2	9.25	4
20.75	8.75	4
20.55	8.75	4
21.1	8	4
21.65	8.65	4
21.75	8.2	4
21.95	7.55	4
22	6.75	4
22.8	6.45	4
22.65	6.65	4
22.75	7.05	4
23	7.35	4
22.55	7.9	4
22.2	8.7	4
22.9	8.45	4
22.35	9.2	4
22.75	9.35	4
22.4	10.05	4
23.05	10.9	4
23.3	9.85	4
23.95	9.8	4
23.65	9.1	4
23.7	8.85	4
24.25	8.25	4
24.85	7.95	4
23.5	7.85	4
23.85	7.35	4
23.95	6.9	4
23.65	6.5	4
23.6	5.7	4
24.3	5.65	4
24.8	6.4	4
34.05	3.5	3
33.05	3.85	3
32	3.8	3
31.9	4.4	3
31.05	4.75	3
30.4	5.65	3
30.75	6.1	3
30	6.7	3
30.1	7.4	3
29.5	8.15	3
30.75	8	3
30.85	7.35	3
31.5	6.75	3
31.75	5.95	3
32.35	6.45	3
32.8	6	3
32.05	5.1	3
32.8	4.8	3
32.65	4.4	3
33.65	4.6	3
33.05	5.15	3
33.6	5.45	3
34.5	5.05	3
34.9	4.65	3
35.45	4.1	3
34.6	4.05	3
34.2	4.2	3
36.3	5.2	3
35.55	5.35	3
35.95	6.05	3
34.8	5.85	3
33.7	6.15	3
33.95	6.6	3
33.7	7.05	3
32.75	7.1	3
32.3	7.65	3
33	7.9	3
31.95	8.15	3
31.15	8.65	3
30.35	8.85	3
29.85	9	3
30.7	9.15	3
29.7	9.9	3
30.45	9.95	3
30.95	9.85	3
31.8	9.45	3
32.45	8.8	3
33.55	8.6	3
34.35	7.7	3
34.7	8	3
34.6	7.25	3
35	6.8	3
35.5	7.35	3
36.1	7.5	3
36.55	7	3
36	8.2	3
35.35	8.05	3
36.55	8.65	3
36.4	9.1	3
35.5	9.1	3
34.55	8.85	3
35.25	9.4	3
34.4	9.5	3
33.5	9.3	3
33.85	9.8	3
32.5	9.65	3
32.3	10.25	3
33.3	10.3	3
31.6	10.5	3
30.6	10.5	3
30.4	11.1	3
30.9	11.45	3
30.7	11.65	3
30.4	12.05	3
31.2	12	3
31.95	11.35	3
31.65	11.05	3
32.95	11.15	3
32.65	11.7	3
32.25	12.25	3
32.05	12.25	3
31.3	12.7	3
31.95	12.95	3
32.75	13.1	3
33.15	13.2	3
33.1	12.75	3
33.15	12.1	3
34.3	11.75	3
34	10.85	3
34.65	11	3
34.8	10.1	3
35.65	9.85	3
36.35	10	3
35.55	10.75	3
35.8	11.55	3
35.2	11.75	3
34.7	11.75	3
34.95	12.75	3
34.05	12.55	3
34.05	13.05	3
33.25	13.7	3
33.2	14.15	3
33.25	14.7	6
33	15.15	6
32.95	15.65	6
32.6	16.15	6
32.45	16.75	6
32.65	17.05	6
32.75	17.3	6
31.75	17.2	6
31.7	17.65	6
31	17.5	6
31.15	17.9	6
30.45	18.05	6
30.05	18.8	6
30.55	18.8	6
30.5	19.3	6
30.25	19.4	6
29.6	19.85	6
29.15	20.55	6
30.25	20.45	6
30.7	20.05	6
31	19.9	6
31.55	19.65	6
31.5	18.55	6
32.05	18.6	6
31.95	19.1	6
32.6	18.35	6
32.85	17.95	6
33.45	17.45	6
33.7	17	6
34.25	17.35	6
34.3	18.05	6
33.85	18.4	6
33.05	18.85	6
33.25	18.95	6
32.8	19.15	6
32.3	19.85	6
32.8	20	6
31.75	20.25	6
31.75	20.75	6
32.1	21.15	6
31.55	21.6	6
30.65	21.3	6
29.95	21.6	6
29.5	21.6	6
30.35	22.05	6
31.05	22	6
31.55	22.2	6
30.95	22.65	6
30.3	23.1	6
29.6	23.15	6
29.35	22.55	6
29.2	23.85	6
30.75	24	6
30.95	24.15	6
31.45	23.7	6
31.95	23.15	6
32.55	22.05	6
32.6	22.55	6
33.25	22.25	6
33.65	21.9	6
33.5	21.3	6
33.1	20.75	6
33.8	20.4	6
33.85	20	6
34.15	19.3	6
34.85	18.85	6
35.3	18.55	6
35.4	19.35	6
34.55	19.75	6
35.05	20	6
35.95	19.85	6
36.35	20.6	6
35.5	20.55	6
34.45	20.65	6
34.4	21.25	6
35	21.05	6
35.75	21.3	6
35.05	21.5	6
34.6	22.05	6
34.2	21.75	6
36.25	21.95	6
35.7	22.3	6
35.5	22.9	6
35.85	23.25	6
36.3	23.8	6
35.45	24.1	6
34.9	23.5	6
34.2	22.9	6
33.85	23.3	6
33.25	23.35	6
32.45	23.7	6
33.6	23.9	6
34.25	23.95	6
34.25	24.1	6
35.4	24.7	6
35.15	25.3	6
34.4	24.9	6
33.7	24.85	6
32.25	24.45	6
32.5	24.7	6
31.45	24.45	6
31.55	25.2	6
31.05	25	6
30.25	24.3	6
29.8	24.8	6
29.6	25.5	6
29.7	26.05	6
30.5	25.5	6
30.65	26	6
31.25	26.05	6
31.45	26.95	6
30.75	26.9	6
30.65	27.15	6
31.25	27.85	6
31.85	27.75	6
32.7	28.2	6
33.25	27.55	6
32.4	27.1	6
32.15	26.65	6
32.35	25.95	6
32.95	25.5	6
33.85	26.05	6
33.05	26.5	6
33.65	27	6
34.1	27.35	6
34.2	27.95	6
34.65	26.85	6
35.25	26	6
35.7	26.15	6
34.4	25.6	6
21.3	20.8	1
20.15	20.9	1
19.2	21.35	1
19.1	21.85	1
18.45	22.8	1
18.75	22.95	1
19.4	23	1
19.55	22.25	1
19.8	21.85	1
20.5	21.85	1
21.45	21.45	1
21.7	21.9	1
21.4	22.3	1
21	22.6	1
21.15	22.95	1
20.5	22.85	1
19.75	23.65	1
19.2	23.7	1
18.45	24.35	1
20.65	23.85	1
20.65	24.3	1
19.7	24.6	1
20.15	25.05	1
22.15	25.1	1
21.6	24.65	1
21.7	23.8	1
21.9	23.65	1
22.55	23.5	1
22.55	24.3	1
23.3	24.45	1
24.25	24.35	1
23.8	25.25	1
23.4	23.8	1
22.9	23.2	1
22.3	22.8	1
22.2	22.4	1
23.1	21.7	1
22.85	21.9	1
22.65	21.1	1
23.15	22.6	1
24.1	21.9	1
24.7	22.2	1
24.3	22.6	1
24.15	23.3	1
23.9	23.45	1
5.2	2.15	5
6.35	1.95	5
6.75	2.3	5
5.9	2.4	5
5.4	2.7	5
4.85	2.9	5
4.85	3.35	5
5.15	3.45	5
5.7	3.45	5
6.2	3	5
6.2	3.2	5
7.65	2.15	5
7.2	2.75	5
6.75	3.2	5
6.75	3.55	5
6.65	3.8	5
5.8	4	5
4.95	4.05	5
5.1	4.35	5
5.7	4.45	5
5.45	4.85	5
6.7	4.8	5
6.55	5.05	5
7.2	4.9	5
6.2	4.25	5
7.1	4.3	5
7.85	4.5	5
7.6	4.15	5
7.25	3.55	5
7.8	3.35	5
8.05	2.75	5
8.5	3.25	5
8.1	3.55	5
8.15	4	5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788