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堆排序重建堆的时间复杂度_排序算法之 堆排序 及其时间复杂度和空间复杂度...

重新堆化的平均时间复杂度

堆排序是由1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特.弗洛伊德(Robert W.Floyd)和威廉姆斯(J.Williams)在1964年共同发明了的一种排序算法( Heap Sort );

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树(堆)这种数据结构所设计的一种排序算法,它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆,是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值,即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中,需要使用的就是大根堆,因为根据大根堆的要求可知,最大的值一定在堆顶。

算法分析

其实这种算法看起来挺复杂,但是如果真正理解了就会感觉非常简单的;

基本思想:把待排序的元素按照大小在二叉树位置上排列,排序好的元素要满足:父节点的元素要大于等于其子节点;这个过程叫做堆化过程,如果根节点存放的是最大的数,则叫做大根堆;如果是最小的数,自然就叫做小根堆了。根据这个特性(大根堆根最大,小根堆根最小),就可以把根节点拿出来,然后再堆化下,再把根节点拿出来,,,,循环到最后一个节点,就排序好了。

基本步骤:

其实整个排序主要核心就是堆化过程,堆化过程一般是用父节点和他的孩子节点进行比较,取最大的孩子节点和其进行交换;但是要注意这应该是个逆序的,先排序好子树的顺序,然后再一步步往上,到排序根节点上。然后又相反(因为根节点也可能是很小的)的,从根节点往子树上排序。最后才能把所有元素排序好;具体的操作可以看代码,也可以看看下面的图示:

0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

实现代码

理解代码:i节点的孩子节点为 2i +1和 2i+2 ;i节点的 父节点为:(i-1)/2;最后一个非叶子节点:n/2 - 1;下面的代码是实现的大根堆,把元素从小到大依次排序;

#include

#define LEN 12

//打印数组

void print_array(int *array, int length)

{

int index = 0;

printf("array:\n");

for(; index < length; index++){

printf(" %d,", *(array+index));

}

printf("\n\n");

}

//堆化函数

void _heapSort(int *array, int i, int length)

{

int child, tmp;

//这个是改变了哪个节点,就从该节点开始对以该节点为根节点的子树进行排序

for (; 2*i + 1 < length; i = child){//依次到它的子树的子树。。。。

child = 2*i + 1;

if ((child +1 < length) && (array[child+1] > array[child])) child++;//选个最大的孩子节点

if (array[i] < array[child]){//最大子节点和父节点进行交互

tmp = array[i];

array[i] = array[child];

array[child] = tmp;

}else break;

}

}

void heapSort(int *array, int length)

{

int i, tmp;

if (length <= 1) return;//如果元素小于1,则退出

//这一步是先把元素都堆化好,后面的话 哪个节点修改过,就从哪个节点开始对以它为根节点的子树进行堆化

for (i = length/2 - 1; i >= 0; i--) _heapSort(array, i, length);//从第一个非叶子节点开始排序,一直到根节点

// 先抽取到根节点,然后再对元素进行堆化,然后又抽取根节点,再对元素进行堆化。。。。依次循环

for (i = 0; i < length; i++ ){

tmp = array[0];

array[0] = array[length-i-1];

array[length -i-1] = tmp;

_heapSort(array, 0, length-1-i);//堆化子树

}

}

int main(void)

{

int array[LEN] = {2, 1, 4, 0, 12, 520, 2, 9, 5, 3, 13, 14};

print_array(array, LEN);

heapSort(array, LEN);

print_array(array, LEN);

return 0;

}

运行结果:

0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

时间复杂度

堆排序的时间复杂度,主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程;

初始化建堆过程时间:O(n)

推算过程:

首先要理解怎么计算这个堆化过程所消耗的时间,可以直接画图去理解;

假设高度为k,则从倒数第二层右边的节点开始,这一层的节点都要执行子节点比较然后交换(如果顺序是对的就不用交换);倒数第三层呢,则会选择其子节点进行比较和交换,如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了,那么又要选择一支子树进行比较和交换;

那么总的时间计算为:s = 2^( i - 1 )  *  ( k - i );其中 i 表示第几层,2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素,( k - i) 表示子树上要比较的次数,如果在最差的条件下,就是比较次数后还要交换;因为这个是常数,所以提出来后可以忽略;

S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1)  ===> 因为叶子层不用交换,所以i从 k-1 开始到 1;

这个等式求解,我想高中已经会了:等式左右乘上2,然后和原来的等式相减,就变成了:

S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)

除最后一项外,就是一个等比数列了,直接用求和公式:S = {  a1[ 1-  (q^n) ] }  / (1-q);

S = 2^k -k -1;又因为k为完全二叉树的深度,所以 (2^k) <=  n < (2^k  -1 ),总之可以认为:k = logn (实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn );

综上所述得到:S = n - longn -1,所以时间复杂度为:O(n)

更改堆元素后重建堆时间:O(nlogn)

推算过程:

1、循环  n -1 次,每次都是从根节点往下循环查找,所以每一次时间是 logn,总时间:logn(n-1) = nlogn  - logn ;

综上所述:堆排序的时间复杂度为:O(nlogn)

空间复杂度

因为堆排序是就地排序,空间复杂度为常数:O(1)

若有不正确之处,望大家指正,共同学习!谢谢!!!

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