经典机器学习模型(二)KNN模型

经典机器学习模型(二)KNN模型

1 KNN算法简介

1.1 初识KNN

KNN算法可以说是机器学习中最简单的是一种分类、回归方法，它甚至连一个显性的模型结构表达都没有。

假如给定了一个训练数据集$T$，里面包含了$N$个样本，每一个实例的标签都给定。当给定一个新的实例$x$时，我们就可以在训练数据集$T$里面寻找与$x$最近的$k$个实例，然后根据这$k$个实例的标签来决定新实例的$x$值。

• 对于分类问题，采用多数表决。哪一种类别所占比例最大，那么新的实例点它就属于哪个类别。

• 对于回归问题，可以取这些邻居的标签，计算平均值。

• 如下图，k=3时，绿色圆点属于红色三角形类别，k=5时，绿色圆点属于蓝色正方形类别

• 如果换一种距离定义方式，可能这里绿圆点所属的类别也会发生变化。所以，多少个邻居，怎么计算距离，如何通过邻居的情况反映目标点的信息，都是非常关键的问题。

1.2 KNN算法及其三要素

KNN算法如下：

距离度量、$k$个邻居、和分类决策规则，这三个就是k近邻法的三要素。任意一者的变化，都可能导致实例$x$所属的类别发生变化。

1.2.1 距离度量

$$\begin{gathered} 特征空间中任意的x_i和x_j都是一个n维向量，下式中x^{(l)}代表的是第l个特征，p决定了不同的范数距离。 \\ {L}_p(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}},p>=1 \end{gathered}$$

• 当p=2的时候，是我们最熟悉的欧式距离

$$\begin{gathered} L_2(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}} \\ =\sqrt{(x_i^{(1)}-x_j^{(1)}{)}^2+(x_i^{(2)}-x_j^{(2)}{)}^2+...+(x_i^{(n)}-x_j^{(n)}{)}^2} \end{gathered}$$

• 当p=1的时候，称为曼哈顿距离，也就是计算所有特征下的绝对距离，再求和。

$$\begin{gathered} L_1(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|) \\ =|x_i^{(1)}-x_j^{(1)}|+|x_i^{(2)}-x_j^{(2)}|+...+|x_i^{(n)}-x_j^{(n)}| \end{gathered}$$

• 当p为无穷的时候，称为切比雪夫距离，也就是找到所有特征下的绝对距离的最大值。

$$L_{\infty }(x_i,x_j)=\underset{l}{\max }|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$

举例如下：

$x_0=(0,0{)}^T$ ,求出下图蓝色、红色和黄色分别代表的$L_P$距离。

• $L_2(x_i,x_0)==\sqrt{(x_i^{(1)}-0{)}^2+(x_i^{(2)}-0{)}^2}=(x_i^{(1)}-0{)}^2+(x_i^{(2)}-0{)}^2=1$，代表一个圆，因此红色线为L_2，即欧式距离。
• $L_1(x_i,x_0)==|x_i^{(1)}-0|+|x_i^{(2)}-0|=1$,而AB + BO=1，可知蓝色线为L_1,即曼哈顿距离。曼哈顿距离的命名来源于曼哈顿岛上的街道网格系统，因为只能沿着水平和垂直方向移动，所以通过网格线移动的最短路径就是曼哈顿距离。
• 黄色线代表切比雪夫距离。
• 需要注意的是不同的距离度量，所确定的最近邻点也是不同的。

1.2.2 k值的选择

我们已经知道了，当$k$值不同时，所属的分类也会不同。

• 如果选择的$k$值比较小，相当于就在一个比较小的领域里面对训练集内的实例进行预测，所以近似误差小，但是如果新增一个实例时，超过了范围则会导致估计误差增大，这就是只对训练集友好，对新的实例点不友好的情况——过拟合；
• 与之相对，$k$值较大时，就会出现欠拟合；
• $k$值可通过交叉验证选择，$k$值一般低于训练集样本量的平方根。

1.2.3 分类决策规则

k 近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的k 个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类。

1.3 利用python简单实现KNN

import numpy as np
from collections import Counter

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        parameter: n_neighbors 临近点个数
        parameter: p 距离度量
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train

    def predict(self, X):
        # 1、从训练集中取n个
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
        # 2、遍历未取的训练集，如果所取的knn_list中最大距离 > 目前遍历点的距离，就用现在的点进行替换
        for i in range(self.n, len(self.X_train)):
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0] > dist:
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])

        # 3、将取出的n个最近邻的标签值进行统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
        # 取出值最多的标签
        max_count = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]
        return max_count

    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)


if __name__ == '__main__':
    # 求x的类别
    x = [1, 1]
    x1 = [15, 10]
    x2 = [4, 4]
    x3 = [10, 2]
    x4 = [2, 1]
    X_train = np.array([x1, x2, x3, x4])
    y_train = np.array([0, 1, 0, 1])
    knn = KNN(X_train=X_train, y_train=y_train, n_neighbors=3)
    print(knn.predict(np.array(x)))
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2 K近邻法的实现:kd树

• 我们现在已经知道了KNN算法，并且用python进行了简单实现。在上面的实现过程中，实现方法是线性扫描(linear scan)，计算了输入实例与每1个训练实例的距离。当训练集很大时，计算非常耗时，这种方法是不可行的。

• 当训练集很大时，我们可以用一个更快速的计算办法——kd树。

• kd 从根本上来看，是一个二叉树结构，根据这个结构对$k$维空间进行不断的划分，每一个节点就代表了$k$维超矩形区域。既然是二叉树，可以想到在建树的时候需要用到递归法。

2.1 利用递归法构造kd树

2.1.1 构造kd树的算法描述

2.1.2 举例构造kd树

为了更加理解上面算法，就用《统计学习方法》书中的例题，构建一棵二维的kd树，手动走下算法流程。

数据集为$T=(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)$，利用此训练数据集构造一棵kd树。

1、开始：构造根节点

因为该训练数据集的维度为2，那么任选一个特征即可。不妨选择$x^{(1)}$为坐标轴(即第一个特征维度)，将$x^{(1)}$中的数据按照从小到大排序，分别是：2，4，5，7，8，9。

中位数不妨选7，即以(7，2)为根节点，切分整个区域，那么左区域的坐标小于7，右节点坐标大于7。

2、剩余特征的选取和切割

左边区域点为(5，4)，(2，3)，(4，7)，我们先递归的创建左子树。

此时，按照第2个特征进行排序，即3、4、7，中位数为4，切分坐标为(5， 4)，将左区域再次划分为上、下两个区域。

继续递归，下面区域小于4，按照第1个特征进行排序，只有1个点了(2, 3)，切割完无实例点结束。

上面区域大于4，仍旧按照第1个特征进行排序，也只有1个点了(4， 7)，切割完无实例点结束，左子树构造完毕。

同理可以递归构造右子树，构造完如下。

2.1.3 构造kd树的python实现

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split      # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left        # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right      # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree


class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度

        def CreateNode(split, data_set):  # 按第split维划分数据集data_set创建KdNode
            if not data_set:  # 数据集为空
                return None
            # 按照split的维度从小到大进行排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2  # Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]    # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k    # 下一个分割点

            print(f'median = {median}, split = {split + 1}')

            # 递归的创建kd树
            return KdNode(
                median,
                split,
                CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),      # 创建左子树
                CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:]))  # 创建右子树

        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print(root.dom_elt)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)


if __name__ == '__main__':
    data = [
        [2, 3],
        [5, 4],
        [9, 6],
        [4, 7],
        [8, 1],
        [7, 2]
    ]
    tree = KdTree(data)
    preorder(tree.root)
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median = [7, 2], split = 1
median = [5, 4], split = 2
median = [2, 3], split = 1
median = [4, 7], split = 1
median = [9, 6], split = 2
median = [8, 1], split = 1
[7, 2]
[5, 4]
[2, 3]
[4, 7]
[9, 6]
[8, 1]
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2.2 搜索kd树

2.2.1 最近邻搜索算法

2.2.2 举例理解最近邻搜索算法

还是上面的例题。我们目标点(2，4.5)的最近邻。

• 1.寻找当前最近点:

  • 从根节点开始，(2, 4.5) 在根节点 (7, 2)的左子区域内，继续到(5, 4) 所确定的上子区域内，继续到 (4,7)的左子区域中，(4, 7)就是当前最近邻点。

• 2.回溯:

  • 我们以 (2, 4.5) 为圆心，以 (2, 4.5) 到 (4,7)两点之间的距离为半径画一个圆，这个区域内有两个节点，分别是 (2, 3) 和 (5, 4)，通过计算 (2, 4.5) 到这两点的距离，得出到 (2, 3)的距离最近，那么 (2, 3) 就是最近邻点。
  • 接着，再以 (2, 4.5) 为圆心以 (2, 4.5)到(2, 3) 两点之间的距离为半径画一个圆，此时圆里没有其他的节点，说明可以确认 (2, 3)就是(2, 4.5) 的最近邻点。

2.2.3 使用python完成最近邻搜索算法

注意，这里并没有实现k近邻的算法，k近邻可以使用sklearn中的API。

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")


def find_nearest(tree, point):
    k = len(point)  # 数据维度

    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
            return result([0] * k, float("inf"), 0)



        nodes_visited = 1

        s = kd_node.split        # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”


        if target[s] <= pivot[s]:         # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left    # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:  # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right  # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left

        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域

        nearest = temp1.nearest_point  # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist      # 更新最近距离


        nodes_visited += temp1.nodes_visited

        if dist < max_dist:
            max_dist = dist  # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内

        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])  # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist:  # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited)  # 不相交则可以直接返回，不用继续判断

        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))

        if temp_dist < dist:  # 如果“更近”
            nearest = pivot   # 更新最近点
            dist = temp_dist  # 更新最近距离
            max_dist = dist   # 更新超球体半径

        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)

        nodes_visited += temp2.nodes_visited

        if temp2.nearest_dist < dist:      # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist      # 更新最近距离
        return result(nearest, dist, nodes_visited)

    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归


if __name__ == '__main__':
    data = [
        [2, 3],
        [5, 4],
        [9, 6],
        [4, 7],
        [8, 1],
        [7, 2]
    ]
    tree = KdTree(data)
    # preorder(tree.root)
    # print(find_nearest(tree, point=[2.1, 3.1]))
    print(find_nearest(tree, point=[2, 4.5]))
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Result_tuple(nearest_point=[2, 3], nearest_dist=0.14142135623730964, nodes_visited=3)
1