考研数学——高数：导数与微分（1）

作者：一键难忘520 | 2024-08-03 02:01:20

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考研数学——高数：导数与微分（1）

一、导数的定义

若 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(xo+\Delta x)-f(xo)}{\Delta x}$ 存在，则称f(x)在xo点可导

记为: ${f}'(xo)= {y}'\mid_{x=xo}= \frac{dy}{dx}\mid _{x=xo}$ 或者 ${f}'(xo)=\lim_{x\rightarrow xo}\frac{f(x)-f(xo)}{x-xo}$

注意：若以上极限不存在，则称f(x)在xo处不可导；若极限为无穷大，则称f(x)在xo处导数为无穷大

即从xo的左边逼近与从xo的右边逼近得到的函数值变化量/自变量变化量的极限

$f_{-}^{'}(xo)\lim_{x\rightarrow xo^-}\frac{f(x)-f(xo)}{x-xo} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\frac{f(xo+\Delta x)-f(xo)}{\Delta x}$

$f_{+}^{'}(xo)\lim_{x\rightarrow xo^+}\frac{f(x)-f(xo)}{x-xo} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{f(xo+\Delta x)-f(xo)}{\Delta x}$

可导：左右导数存在且相等

对于（a，b），只要区间内所有点都可导即该区间上可导

对于[a，b]，左端点存在右导数，右端点存在左导数，区间内可导，则该区间上可导

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