一个公式说清楚：动态规划_动态规划口诀

什么是动态规划

Dynamic Programming，DP。Programming 一词指的不是编程，而是安排计划表，也就是说最后的结果不是直接求出来的，而是一次又一次从子问题递归推算而来的。

动态规划总是与 记忆化技术（也就是缓存，说白了就是利用数组、局部变量把一些子问题的结果存储起来，避免重复计算）搭配使用，其所要解决的子问题有所重叠，如果能采用记忆化技术那么可大幅度降低时间复杂度。

• 递归：递归地解决子问题
• 记忆：把已经计算的值保存起来

现在可以用一个公式来解释什么是动态规划了

动态规划 = 递归 + 记忆

经典问题

题目

青蛙跳台

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

分析

这个问题直接算是难以算出来的，可能的情况太多了。如果把问题分解一下，跳上第n级台阶，只有两种情况 要么从 n-1 级上去，要么从 n-2 级上去。f(n) 为跳上n级台阶有多少种情况，那么 f(n) = f(n-1) + f(n-2),递推公式有了，就可以自下而上的计算了，同时建立一个数组来保存中间子问题的答案。

代码

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if(n==0 || n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        int[] arr = new int[n+1];
        arr[0] = 1; arr[1] = 1; arr[2] = 2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            arr[i] = (arr[i-1] + arr[i-2])%1000000007;
        }
        return arr[n];
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

优化

再看递推公式，只需要记住前两项的结果即可，上述代码记录了所有子问题的答案，空间有所浪费。

总结

如果一个题目的最佳解法可以由各个子问题的最佳解法构成（递归、递推），而且有若干个子问题会反复出现，那么可以考虑一下动态规划。